Как решать задачу: В классе 20 учащихся, среди них два друга - Петя и Костя. На уроке физкультуры класс...

Для решения задачи о вероятности того, что Петя и Костя попадут в одну группу, давайте рассмотрим процесс деления учащихся на группы и используем комбинаторный подход.

1. Общее количество способов разделения класса на группы:

Поскольку у нас 20 учащихся и их нужно разделить на 4 группы по 5 человек, общее количество способов это сделать можно найти по формуле для числа сочетаний с учетом перестановок:

[ C{20,5} \times C{15,5} \times C{10,5} \times C{5,5} \times \frac{1}{4!} ]

где (C_{n,k}) — это количество сочетаний из (n) по (k).

Рассчитаем каждое сочетание:

[ C_{20,5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} ]

[ C_{15,5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} ]

[ C_{10,5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} ]

[ C_{5,5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1 ]

Теперь подставим все в формулу:

[ C{20,5} \times C{15,5} \times C_{10,5} \times 1 \times \frac{1}{4!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} \times \frac{15!}{5! \cdot 10!} \times \frac{10!}{5! \cdot 5!} \times 1 \times \frac{1}{24} ]

Сокращаем факториалы:

[ = \frac{20!}{(5!)^4 \cdot 24} ]

1. Количество способов, при которых Петя и Костя в одной группе:

Предположим, что Петя и Костя уже в одной группе. Тогда нам нужно распределить оставшихся 18 учащихся по оставшимся 4 группам, где одна из групп уже содержит 2 человека (Петя и Костя) и нужно добавить туда ещё 3 человека.

Рассмотрим эти группы:

• Группа с Петей и Костей: [C_{18,3}] (18 человек, выбираем 3 для этой группы)
• Оставшиеся группы: [C{15,5} \times C{10,5} \times C_{5,5}]

Рассчитаем:

[ C_{18,3} = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} ]

Теперь общее количество способов:

[ C{18,3} \times C{15,5} \times C{10,5} \times C{5,5} \times \frac{1}{3!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} \times \frac{15!}{5! \cdot 10!} \times \frac{10!}{5! \cdot 5!} \times 1 \times \frac{1}{6} ]

Сокращаем факториалы:

[ = \frac{18!}{3! \cdot (5!)^3 \cdot 6} ]

1. Найдем вероятность:

Вероятность того, что Петя и Костя попадут в одну группу, это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

[ P = \frac{\frac{18!}{3! \cdot (5!)^3 \cdot 6}}{\frac{20!}{(5!)^4 \cdot 24}} ]

Упростим дробь:

[ P = \frac{18! \cdot (5!) \cdot 24}{20! \cdot 3! \cdot 6} ]

[ = \frac{18! \cdot 24}{20 \cdot 19 \cdot 18! \cdot 6} ]

[ = \frac{24}{20 \cdot 19 \cdot 6} ]

[ = \frac{24}{2280} ]

[ = \frac{1}{95} ]

Таким образом, вероятность того, что Петя и Костя попадут в одну группу, равна (\frac{1}{19}).

Для того чтобы найти вероятность того, что Петя и Костя попали в одну группу, мы можем воспользоваться методом благоприятных исходов.

Сначала определим количество способов разбить 20 учащихся на 4 равные группы. Это можно сделать по формуле сочетаний: С(20, 5) C(15, 5) C(10, 5) = 15504.

Теперь определим количество благоприятных исходов, при которых Петя и Костя попадают в одну группу. Для этого выберем двух учащихся из 20 (Петю и Костю) и разместим их в одной из четырех групп: C(2, 2) C(18, 3) C(15, 5) * C(10, 5) = 102060.

Итак, вероятность того, что Петя и Костя попадут в одну группу, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: 102060 / 15504 = 0.0661 или около 6.61%.