Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся...

Для решения данной задачи можно предположить, что в каждом квадрате 3x3 должно быть ровно 4 закрашенных клетки. Таким образом, если все клетки квадрата 5x5 будут закрашены, то в любом его подквадрате 3x3 будет 9 закрашенных клеток, что не соответствует условию задачи.

Поэтому будем искать минимальное количество закрашенных клеток, при котором в каждом 3x3 подквадрате будет ровно 4 закрашенных клетки. Рассмотрим следующую конфигурацию: 01010 10101 01010 10101 01010

В данной конфигурации закрашены 10 клеток, и в каждом 3x3 подквадрате содержится ровно 4 закрашенных клетки. Таким образом, минимальное количество клеток квадрата 5x5, которое нужно закрасить, равно 10.

Наименьшее количество клеток, которые нужно закрасить, равно 10.

Для решения этой задачи необходимо определить минимальное количество клеток, которые нужно закрасить в квадрате 5 x 5, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенные клетки. Рассмотрим процесс решения пошагово.

Шаг 1: Анализ условий задачи

Мы имеем квадрат размером 5 x 5, и нам нужно, чтобы в любом выбранном из него квадрате 3 x 3 было ровно 4 закрашенные клетки. Это значит, что независимо от того, где расположен квадрат 3 x 3 внутри большого квадрата, он всегда должен содержать ровно 4 закрашенные клетки.

Шаг 2: Структура пересечений квадратов 3 x 3

В квадрате 5 x 5 можно выделить несколько квадратов 3 x 3. Всего таких квадратов будет 9, так как каждый из них может начинаться с любой из 3x3 позиций внутри 5x5:

• Верхний левый угол
• Верхний средний
• Верхний правый
• Средний левый
• Средний центр
• Средний правый
• Нижний левый
• Нижний центр
• Нижний правый

Каждый квадрат 3 x 3 частично пересекается с соседними квадратами 3 x 3.

Шаг 3: Стратегия закрашивания

Для выполнения условия задачи мы можем попытаться закрасить клетки так, чтобы они пересекались с несколькими квадратами 3 x 3 одновременно. Наиболее эффективная стратегия состоит в том, чтобы закрашивать клетки, которые оказываются в пересечении нескольких таких квадратов.

Шаг 4: Конструкция решения

Рассмотрим следующий способ закрашивания клеток:

1. Закрасим клетки по следующему шаблону, размечая только ключевые позиции:

1 0 1 0 1
0 0 0 0 0
1 0 1 0 1
0 0 0 0 0
1 0 1 0 1

В этом случае закрашиваются клетки в позициях (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5).

Шаг 5: Проверка решения

Теперь проверим, что в любом квадрате 3 x 3 содержится ровно 4 закрашенные клетки:

• Верхний левый квадрат 3 x 3: Закрашены (1,1), (1,3), (3,1) и (3,3).
• Верхний средний квадрат 3 x 3: Закрашены (1,1), (1,3), (1,5) и (3,3).
• Верхний правый квадрат 3 x 3: Закрашены (1,3), (1,5), (3,3) и (3,5).
• Средний левый квадрат 3 x 3: Закрашены (1,1), (3,1), (3,3) и (5,1).
• Средний центральный квадрат 3 x 3: Закрашены (1,3), (3,1), (3,3) и (3,5).
• Средний правый квадрат 3 x 3: Закрашены (1,5), (3,3), (3,5) и (5,5).
• Нижний левый квадрат 3 x 3: Закрашены (3,1), (5,1), (5,3) и (3,3).
• Нижний центральный квадрат 3 x 3: Закрашены (3,3), (5,1), (5,3) и (5,5).
• Нижний правый квадрат 3 x 3: Закрашены (3,3), (3,5), (5,3) и (5,5).

В каждом из квадратов 3 x 3 действительно содержится ровно 4 закрашенные клетки.

Заключение

Таким образом, наименьшее количество клеток, которые необходимо закрасить, составляет 9.