Какой угол образует единичные векторы a и b, если известно, что векторы a+2b и 5a-4b взаимно перпендикулярны?

Чтобы найти угол между единичными векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), когда известно, что векторы ( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ) и ( 5\mathbf{a} - 4\mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, мы воспользуемся скалярным произведением.

Скалярное произведение векторов ( \mathbf{u} ) и ( \mathbf{v} ) равно нулю, если эти векторы перпендикулярны: [ (\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) \cdot (5\mathbf{a} - 4\mathbf{b}) = 0. ]

Вычислим это скалярное произведение: [ (\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) \cdot (5\mathbf{a} - 4\mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (5\mathbf{a} - 4\mathbf{b}) + 2\mathbf{b} \cdot (5\mathbf{a} - 4\mathbf{b}). ]

Раскрываем скобки: [ = \mathbf{a} \cdot 5\mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot 4\mathbf{b} + 2\mathbf{b} \cdot 5\mathbf{a} - 2\mathbf{b} \cdot 4\mathbf{b}. ]

Упрощаем: [ = 5(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) - 4(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + 10(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - 8(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}). ]

Так как ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) — единичные векторы, то ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1 ) и ( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1 ). Также, ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ).

Подставляем: [ = 5 \cdot 1 - 4(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + 10(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - 8 \cdot 1. ]

Упрощаем дальше: [ = 5 - 8 + 6(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). ]

Результат равен нулю: [ 5 - 8 + 6(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 0. ]

Решаем относительно ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ): [ -3 + 6(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 0, ] [ 6(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 3, ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}. ]

Скалярное произведение двух векторов связано с косинусом угла между ними: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta. ]

Так как ( |\mathbf{a}| = 1 ) и ( |\mathbf{b}| = 1 ), то [ \cos \theta = \frac{1}{2}. ]

Отсюда угол ( \theta ) равен [ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right). ]

Это соответствует углу ( \theta = 60^\circ ) или ( \theta = \frac{\pi}{3} ) радиан. Таким образом, угол между единичными векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) составляет ( 60^\circ ).

Угол равен 90 градусов.

Для начала рассчитаем скалярное произведение векторов a+2b и 5a-4b:

(a+2b) (5a-4b) = a 5a + a (-4b) + 2b 5a + 2b (-4b) = 5|a|^2 - 4(a b) + 10(a b) - 8|b|^2 = 5|a|^2 + 6(a b) - 8|b|^2

Поскольку векторы a+2b и 5a-4b взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

5|a|^2 + 6(a * b) - 8|b|^2 = 0

Далее, зная, что векторы a и b единичные (|a| = |b| = 1), мы можем представить уравнение в виде:

5 + 6(a b) - 8 = 0 6(a b) = 3 a * b = 1/2

Теперь найдем косинус угла между векторами a и b, используя определение скалярного произведения:

cos(θ) = a b / (|a| |b|) = 1/2

Отсюда получаем, что угол θ между векторами a и b равен arccos(1/2) = π/3 или 60 градусов.