Каково множество значений функции y=x(в степени k)при k=-1;1;2;3.

Множество значений функции ( y = x^k ) для различных значений ( k ):

1. При ( k = -1 ): ( y = \frac{1}{x} ) - множество значений ( y ) - все действительные числа, кроме 0 (то есть ( y \in \mathbb{R} \setminus {0} )).
2. При ( k = 1 ): ( y = x ) - множество значений ( y ) - все действительные числа (то есть ( y \in \mathbb{R} )).
3. При ( k = 2 ): ( y = x^2 ) - множество значений ( y ) - все неотрицательные действительные числа (то есть ( y \geq 0 )).
4. При ( k = 3 ): ( y = x^3 ) - множество значений ( y ) - все действительные числа (то есть ( y \in \mathbb{R} )).

Функция ( y = x^k ) принимает разные формы в зависимости от значения ( k ). Рассмотрим каждое значение ( k ) по отдельности и проанализируем множество значений функции ( y = x^k ).

1. Когда ( k = -1 ): [ y = x^{-1} = \frac{1}{x} ] В этом случае функция определена для всех ( x ), кроме ( x = 0 ) (поскольку деление на ноль невозможно). Множество значений функции ( y = \frac{1}{x} ) будет:

   • Для ( x > 0 ): ( y > 0 )
   • Для ( x < 0 ): ( y < 0 )
   • При ( x \to 0^+ ) (с положительной стороны), ( y \to +\infty )
   • При ( x \to 0^- ) (с отрицательной стороны), ( y \to -\infty )

   Таким образом, множество значений функции: [ \mathbb{R} \setminus {0} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) ]

2. Когда ( k = 1 ): [ y = x^1 = x ] Эта функция является линейной и определена для всех ( x ) в ( \mathbb{R} ). Множество значений функции совпадает с множеством аргументов: [ \mathbb{R} ]

3. Когда ( k = 2 ): [ y = x^2 ] Эта функция является квадратичной и определена для всех ( x ) в ( \mathbb{R} ). Она принимает только неотрицательные значения, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным:

   • При ( x = 0 ), ( y = 0 )
   • При ( x > 0 ), ( y > 0 )
   • При ( x < 0 ), ( y > 0 )

   Таким образом, множество значений функции: [ [0, +\infty) ]

4. Когда ( k = 3 ): [ y = x^3 ] Эта функция является кубической и определена для всех ( x ) в ( \mathbb{R} ). Она принимает все действительные значения, так как куб любого действительного числа может быть как положительным, так и отрицательным:

   • При ( x > 0 ), ( y > 0 )
   • При ( x < 0 ), ( y < 0 )
   • При ( x = 0 ), ( y = 0 )

   Таким образом, множество значений функции: [ \mathbb{R} ]

В итоге, для различных значений ( k ) мы имеем следующие множества значений функции ( y = x^k ):

• ( k = -1 ): ( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) )
• ( k = 1 ): ( \mathbb{R} )
• ( k = 2 ): ( [0, +\infty) )
• ( k = 3 ): ( \mathbb{R} )

Каждое из этих множеств отражает поведение функции в зависимости от значения ( k ).

Рассмотрим функцию ( y = x^k ), где ( k = -1, 1, 2, 3 ). Для каждого значения ( k ) нужно определить множество значений функции. Разберем каждый случай по отдельности.

1. Случай ( k = -1 ): ( y = x^{-1} = \frac{1}{x} )

Функция ( y = \frac{1}{x} ) определена для всех значений ( x ), кроме ( x = 0 ), так как деление на ноль невозможно.

Проверим, какие значения может принимать ( y ):

• Если ( x > 0 ), то ( y > 0 ), и величина ( y ) уменьшается при увеличении ( x ). Например:
  • Если ( x = 1 ), то ( y = 1 );
  • Если ( x = 2 ), то ( y = \frac{1}{2} );
  • Если ( x \to \infty ), то ( y \to 0^+ ).
• Если ( x < 0 ), то ( y < 0 ), и величина ( y ) увеличивается по модулю при уменьшении ( x ). Например:
  • Если ( x = -1 ), то ( y = -1 );
  • Если ( x = -2 ), то ( y = -\frac{1}{2} );
  • Если ( x \to -\infty ), то ( y \to 0^- ).

Множество значений функции: Все вещественные числа, кроме ( y = 0 ). Это можно записать как: [ E_y = (-\infty; 0) \cup (0; \infty) ]

2. Случай ( k = 1 ): ( y = x^1 = x )

Функция ( y = x ) — это линейная функция, график которой представляет собой прямую, проходящую через начало координат под углом 45°.

Проверим, какие значения может принимать ( y ):

• Для любого значения ( x ) (положительного или отрицательного), ( y ) принимает ровно то же значение. Например:
  • Если ( x = -2 ), то ( y = -2 );
  • Если ( x = 0 ), то ( y = 0 );
  • Если ( x = 3 ), то ( y = 3 ).

Множество значений функции: Все вещественные числа. Это можно записать как: [ E_y = (-\infty; \infty) ]

3. Случай ( k = 2 ): ( y = x^2 )

Функция ( y = x^2 ) — это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.

Проверим, какие значения может принимать ( y ):

• Если ( x = 0 ), то ( y = 0 ).
• Если ( x > 0 ), то ( y > 0 ), и величина ( y ) увеличивается с увеличением ( x ). Например:
  • Если ( x = 1 ), то ( y = 1 );
  • Если ( x = 2 ), то ( y = 4 );
  • Если ( x = 3 ), то ( y = 9 ).
• Если ( x < 0 ), то ( y > 0 ), потому что квадрат отрицательного числа положителен. Например:
  • Если ( x = -1 ), то ( y = 1 );
  • Если ( x = -2 ), то ( y = 4 );
  • Если ( x = -3 ), то ( y = 9 ).

Множество значений функции: Все неотрицательные вещественные числа. Это можно записать как: [ E_y = [0; \infty) ]

4. Случай ( k = 3 ): ( y = x^3 )

Функция ( y = x^3 ) — это кубическая функция, график которой представляет собой кривую, проходящую через начало координат. Ветви графика направлены в противоположные стороны: одна влево-вниз, другая вправо-вверх.

Проверим, какие значения может принимать ( y ):

• Если ( x = 0 ), то ( y = 0 ).
• Если ( x > 0 ), то ( y > 0 ), и величина ( y ) увеличивается с увеличением ( x ). Например:
  • Если ( x = 1 ), то ( y = 1 );
  • Если ( x = 2 ), то ( y = 8 );
  • Если ( x \to \infty ), то ( y \to \infty ).
• Если ( x < 0 ), то ( y < 0 ), так как куб отрицательного числа также отрицателен. Например:
  • Если ( x = -1 ), то ( y = -1 );
  • Если ( x = -2 ), то ( y = -8 );
  • Если ( x \to -\infty ), то ( y \to -\infty ).

Множество значений функции: Все вещественные числа. Это можно записать как: [ E_y = (-\infty; \infty) ]

Итог

Для каждого значения ( k ) множество значений функции ( y = x^k ) таково:

1. ( k = -1 ): ( E_y = (-\infty; 0) \cup (0; \infty) )
2. ( k = 1 ): ( E_y = (-\infty; \infty) )
3. ( k = 2 ): ( E_y = [0; \infty) )
4. ( k = 3 ): ( E_y = (-\infty; \infty) )