Катер прошел 12 км по течению реки и 2 км против.На весь путь он потратил 1 час 20 минут.Определите...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой расстояния, времени и скорости.

Обозначим скорость катера как V, тогда скорость катера по течению реки будет равна V+3 км/ч (скорость катера плюс скорость течения) и против течения - V-3 км/ч (скорость катера минус скорость течения).

Для первой части пути (12 км по течению) время равно расстояние делить на скорость, то есть 12/(V+3) часа. Для второй части пути (2 км против течения) время равно 2/(V-3) часа.

Согласно условию задачи, сумма времени двух частей пути равна 1 час 20 минут = 1.33 часа. Поэтому уравнение будет выглядеть следующим образом:

12/(V+3) + 2/(V-3) = 1.33

Решив это уравнение, мы найдем скорость катера (V).

Для решения задачи обозначим:

• ( v ) — собственная скорость катера (км/ч).
• ( v_{\text{течения}} = 3 ) км/ч — скорость течения реки.

Составим уравнения для движения катера по течению и против течения:

1. По течению реки: здесь скорость катера складывается со скоростью течения. Таким образом, общая скорость катера по течению равна ( v + 3 ) км/ч. Катер прошел 12 км, поэтому время, потраченное на движение по течению, равно:

   [ t_{\text{по течению}} = \frac{12}{v + 3} ]

2. Против течения реки: здесь скорость катера уменьшается на скорость течения. Таким образом, общая скорость катера против течения равна ( v - 3 ) км/ч. Катер прошел 2 км, поэтому время, потраченное на движение против течения, равно:

   [ t_{\text{против течения}} = \frac{2}{v - 3} ]

Общее время движения катера составляет 1 час 20 минут, что в часах равно ( \frac{4}{3} ) часа. Таким образом, получаем уравнение:

[ \frac{12}{v + 3} + \frac{2}{v - 3} = \frac{4}{3} ]

Решим это уравнение. Найдем общий знаменатель и приведем дроби к нему:

[ \frac{12(v - 3) + 2(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{4}{3} ]

Раскроем скобки в числителе:

[ 12v - 36 + 2v + 6 = 14v - 30 ]

Получим уравнение:

[ \frac{14v - 30}{v^2 - 9} = \frac{4}{3} ]

Перейдем к пропорции:

[ 3(14v - 30) = 4(v^2 - 9) ]

Раскроем скобки:

[ 42v - 90 = 4v^2 - 36 ]

Перенесем все в одну сторону уравнения:

[ 4v^2 - 42v + 54 = 0 ]

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

[ 2v^2 - 21v + 27 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант ((D)):

[ D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \times 2 \times 27 = 441 - 216 = 225 ]

Корень из дискриминанта:

[ \sqrt{225} = 15 ]

Найдем корни уравнения:

[ v_1 = \frac{21 + 15}{4} = \frac{36}{4} = 9 ]

[ v_2 = \frac{21 - 15}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 ]

Поскольку собственная скорость катера должна быть больше скорости течения (3 км/ч), то подходит только ( v = 9 ) км/ч.

Ответ: собственная скорость катера равна 9 км/ч.