Х⁴-17х²+16=0 Решите уравнение

Чтобы решить уравнение ( x^4 - 17x^2 + 16 = 0 ), заметим, что оно напоминает квадратное уравнение относительно ( x^2 ). Пусть ( y = x^2 ), тогда уравнение примет вид:

[ y^2 - 17y + 16 = 0. ]

Это стандартное квадратное уравнение, и мы можем решить его, используя формулу корней квадратного уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = -17 ), ( c = 16 ).

Подставляем данные значения: [ y = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2}. ]

Таким образом, получаем два значения для ( y ): [ y_1 = \frac{17 + 15}{2} = 16, ] [ y_2 = \frac{17 - 15}{2} = 1. ]

Теперь вернемся к переменной ( x ), вспоминая, что ( y = x^2 ), то есть: [ x^2 = 16 \quad \text{и} \quad x^2 = 1. ]

Решаем каждое из этих уравнений:

1. ( x^2 = 16 ) дает ( x = 4 ) или ( x = -4 ).
2. ( x^2 = 1 ) дает ( x = 1 ) или ( x = -1 ).

Итак, корни исходного уравнения ( x^4 - 17x^2 + 16 = 0 ) это ( x = 4, -4, 1, -1 ).

Для решения уравнения х⁴ - 17х² + 16 = 0 проведем замену переменной, введя новую переменную y = x². Тогда уравнение примет вид y² - 17y + 16 = 0. Далее решим это квадратное уравнение, находя его дискриминант D = (-17)² - 4116 = 289 - 64 = 225.

Таким образом, дискриминант равен 225, что является положительным числом, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: y₁,₂ = (-(-17) ± √225) / 2*1 = (17 ± 15) / 2.

Таким образом, получаем два корня: y₁ = (17 + 15) / 2 = 16 и y₂ = (17 - 15) / 2 = 1. Теперь найдем корни исходного уравнения, подставляя найденные значения y в уравнение y = x²: x₁ = √16 = 4, x₂ = √1 = 1, x₃ = -4, x₄ = -1.

Итак, уравнение х⁴ - 17х² + 16 = 0 имеет четыре корня: x₁ = 4, x₂ = 1, x₃ = -4, x₄ = -1.