Х-3 / (х+2) > 0 решить неравенство. ответ и график

Для решения данного неравенства необходимо найти интервалы, на которых выражение х-3 / (х+2) > 0.

Сначала найдем точки, в которых выражение равно нулю или не определено. Решим уравнение х-3 = 0, откуда х = 3. Также найдем точку, в которой знаменатель равен нулю, то есть х+2 = 0, откуда х = -2.

Теперь построим таблицу знаков, разделяя интервалы на основе найденных точек: 1) х < -2 2) -2 < х < 3 3) х > 3

Подставим в выражение х = -3, х = 0 и х = 4 для определения знаков на каждом интервале.

1) При х < -2: (-3-3) / (-3+2) = -6 / -1 = 6 > 0 2) При -2 < х < 3: (0-3) / (0+2) = -3 / 2 < 0 3) При х > 3: (4-3) / (4+2) = 1 / 6 > 0

Таким образом, решением неравенства являются интервалы (-бесконечность; -2) и (3; +бесконечность).

График данного неравенства будет иметь точку разрыва в точке x = -2 и будет положительным на интервалах (-бесконечность; -2) и (3; +бесконечность), а отрицательным на интервале (-2; 3).

Чтобы решить неравенство (\frac{x - 3}{x + 2} > 0), необходимо определить, при каких значениях (x) данное выражение будет положительным.

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: (x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3).
   • Знаменатель: (x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2).

   Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Точка (x = 3) делает числитель равным нулю, но не влияет на знак дроби, а точка (x = -2) делает знаменатель равным нулю, что приводит к разрыву функции.

2. Определим знаки в каждом из интервалов:

   Разбиваем числовую прямую на интервалы ((-\infty, -2)), ((-2, 3)), и ((3, \infty)).

   • Для интервала ((-\infty, -2)), выберем тестовую точку, например, (x = -3): [ \frac{-3 - 3}{-3 + 2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0. ] Здесь выражение положительно.

   • Для интервала ((-2, 3)), выберем тестовую точку, например, (x = 0): [ \frac{0 - 3}{0 + 2} = \frac{-3}{2} = -1.5 < 0. ] Здесь выражение отрицательно.

   • Для интервала ((3, \infty)), выберем тестовую точку, например, (x = 4): [ \frac{4 - 3}{4 + 2} = \frac{1}{6} > 0. ] Здесь выражение положительно.

3. Записываем решение:

   Неравенство (\frac{x - 3}{x + 2} > 0) выполняется на интервалах ((-\infty, -2)) и ((3, \infty)).

4. Учитываем точки, где знаменатель равен нулю:

   Точка (x = -2) приводит к разрыву, поэтому она не входит в решение. В точке (x = 3) числитель равен нулю, но это не влияет на знак, так что (x = 3) также не входит в решение.

5. Итоговое решение:

   [ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty). ]

График:

На числовой прямой отметим:

• Пустую точку в (x = -2) (разрыв).
• Пустую точку в (x = 3) (где дробь равна нулю, но не положительна).

Заштрихуем интервалы ((-\infty, -2)) и ((3, \infty)), где неравенство выполняется.