(Х^2-1)(х^2+3)=(х^2+1)^2+х

Рассмотрим уравнение:

[(x^2 - 1)(x^2 + 3) = (x^2 + 1)^2 + x]

Развернем обе стороны уравнения и упростим.

Начнем с левой стороны:

[ (x^2 - 1)(x^2 + 3) ]

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения:

[ (x^2 - 1)(x^2 + 3) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 3 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 3 ]

[ = x^4 + 3x^2 - x^2 - 3 ]

[ = x^4 + 2x^2 - 3 ]

Теперь рассмотрим правую сторону уравнения:

[ (x^2 + 1)^2 + x ]

Сначала разложим квадрат бинома:

[ (x^2 + 1)^2 = (x^2 + 1)(x^2 + 1) ]

Раскроем скобки:

[ (x^2 + 1)(x^2 + 1) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot 1 ]

[ = x^4 + x^2 + x^2 + 1 ]

[ = x^4 + 2x^2 + 1 ]

Теперь добавим (x):

[ (x^4 + 2x^2 + 1) + x = x^4 + 2x^2 + 1 + x ]

Мы получили два выражения:

1. Левая сторона: [x^4 + 2x^2 - 3]
2. Правая сторона: [x^4 + 2x^2 + 1 + x]

Сравним их:

[ x^4 + 2x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + 1 + x ]

Для того чтобы уравнение было верным, приведем его к виду (0 = 0):

[ x^4 + 2x^2 - 3 - (x^4 + 2x^2 + 1 + x) = 0 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ x^4 + 2x^2 - 3 - x^4 - 2x^2 - 1 - x = 0 ]

[ (x^4 - x^4) + (2x^2 - 2x^2) - 3 - 1 - x = 0 ]

[ -4 - x = 0 ]

Следовательно, (-4 - x = 0):

[ x = -4 ]

Таким образом, уравнение имеет единственное решение (x = -4).

Для упрощения данного выражения раскроем скобки: (х^2-1)(х^2+3) = x^4 + 3x^2 - x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 - 3

Далее раскроем скобки во втором слагаемом: (х^2+1)^2+х = (x^2 + 1)(x^2 + 1) + x = x^4 + x^2 + x^2 + 1 + x = x^4 + 2x^2 + 1 + x

Теперь сравним оба выражения: x^4 + 2x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + 1 + x

Получаем уравнение: x = -4

Таким образом, при x = -4 оба выражения равны.