Х+2/х-1+х/х+1=6/х^2-1

Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Для этого умножим первую дробь на (х+1)/(х+1), а вторую - на (х-1)/(х-1). Получим: (х(х+1) + 2(х-1))/(х(х+1)) = 6/(х^2-1). Раскроем скобки в числителе первой дроби: (х^2 + х + 2х - 2)/(х(х+1)) = 6/(х^2-1). Упростим: (х^2 + 3х - 2)/(х(х+1)) = 6/(х^2-1). Разделим числитель первой дроби на (х+1): (х^2 + 3х - 2)/(х(х+1)) = 6/(х^2-1). Получим: (х^2 + 3х - 2)/(х*(х+1)) = 6/((х+1)(х-1)). Теперь у нас есть общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель и получим: (х^2 + 3х - 2) = 6. Раскроем скобки: х^2 + 3х - 2 = 6. Перенесем все в левую часть уравнения: х^2 + 3х - 2 - 6 = 0. Упростим: х^2 + 3х - 8 = 0. Теперь полученное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

Преобразуем выражение: (x^2-1) = (x-1)(x+1) Упрощаем уравнение: x + 2/x - 1 + x/x + 1 = 6/(x-1)(x+1) Приводим к общему знаменателю: (x(x+1) + 2(x-1)(x+1) - (x^2-1)(x+1)) / (x-1)(x+1) = 6/(x^2-1) Решаем уравнение: (x^2 + x + 2x^2 - 2 + 2x - 2 - x^3 - x + x) / (x^2-1) = 6/(x^2-1) Упрощаем: (3x^2 + 2x - 2) / (x^2-1) = 6/(x^2-1) Умножаем обе стороны на (x^2-1): 3x^2 + 2x - 2 = 6 Получаем квадратное уравнение: 3x^2 + 2x - 8 = 0 Решаем квадратное уравнение: x1 = -2, x2 = 4/3 Ответ: x = -2 или x = 4/3.

Для начала давайте приведем уравнение к более управляемому виду. Заметим, что знаменатель на правой стороне уравнения, ( х^2 - 1 ), можно разложить на множители как ( (x-1)(x+1) ). Это поможет нам упростить уравнение. Исходное уравнение выглядит так:

[ \frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{6}{x^2 - 1} ]

Для начала найдем общий знаменатель для левой стороны уравнения, который равен ( (x-1)(x+1) ). Преобразуем каждую дробь в левой части:

[ \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x + 2)(x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 1} ]

[ \frac{x}{x + 1} = \frac{x(x - 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} ]

Теперь сложим эти две дроби:

[ \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 1} + \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 - x)}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 + 2x + 2}{x^2 - 1} ]

Упростим числитель:

[ 2x^2 + 2x + 2 = 2(x^2 + x + 1) ]

Теперь у нас есть:

[ \frac{2(x^2 + x + 1)}{x^2 - 1} ]

Приравняем это к правой части уравнения:

[ \frac{2(x^2 + x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{6}{x^2 - 1} ]

Для того чтобы уравнение имело место, числители должны быть равны:

[ 2(x^2 + x + 1) = 6 ]

Разделим обе стороны на 2:

[ x^2 + x + 1 = 3 ]

[ x^2 + x - 2 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ x^2 + x - 2 = 0 ]

Факторизуем его:

[ (x + 2)(x - 1) = 0 ]

Таким образом, ( x + 2 = 0 ) или ( x - 1 = 0 ), откуда следует, что ( x = -2 ) или ( x = 1 ). Однако, если подставить ( x = 1 ) в исходное уравнение, мы получим деление на ноль в знаменателе, так что ( x = 1 ) не подходит.

Таким образом, единственным решением является ( x = -2 ).