Х2+ху-у2=11 х-2у=1 решить систему уравнений методом подстановки

Для решения данной системы уравнений методом подстановки, первым шагом является выражение одной из переменных через другую в одном из уравнений. В данном случае мы можем выразить переменную x через y из второго уравнения:

x = 2y + 1

Затем подставляем это выражение в первое уравнение:

(2y + 1)^2 + (2y)y - y^2 = 11 4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 - y^2 = 11 5y^2 + 4y + 1 = 11 5y^2 + 4y - 10 = 0

Теперь находим значения y, решая квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

D = 4^2 - 45(-10) = 16 + 200 = 216

y1,2 = (-4 ± √216) / 10 y1 = (-4 + √216) / 10 ≈ 1.6 y2 = (-4 - √216) / 10 ≈ -2

Теперь найдем соответствующие значения x, используя уравнение x = 2y + 1:

При y ≈ 1.6: x ≈ 21.6 + 1 ≈ 4.2 При y ≈ -2: x ≈ 2(-2) + 1 = -3

Итак, получаем два решения системы уравнений: 1) x ≈ 4.2, y ≈ 1.6 2) x = -3, y = -2

1. Найдем значение х и у в уравнениях: х = 1 + 2y Подставим это значение в уравнение х^2 + xy - y^2 = 11: (1 + 2y)^2 + y(1 + 2y) - y^2 = 11 1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 = 11 6y^2 + 5y - 10 = 0
2. Решим уравнение для у: y1 = -2, y2 = 5/3
3. Подставим найденные значения у обратно в уравнение х = 1 + 2y: x1 = -3, x2 = 11/3 Ответ: (-3, -2) и (11/3, 5/3)

Давайте решим данную систему уравнений методом подстановки. У нас есть две уравнения:

1. ( x^2 + xy - y^2 = 11 )
2. ( x - 2y = 1 )

Для начала выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Из уравнения ( x - 2y = 1 ) выразим ( x ):

[ x = 2y + 1 ]

Теперь подставим это выражение для ( x ) в первое уравнение:

[ (2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11 ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. ((2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1)
2. ((2y + 1)y = 2y^2 + y)

Подставляем в уравнение:

[ 4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y - y^2 = 11 ]

Соберем подобные члены:

[ (4y^2 + 2y^2 - y^2) + (4y + y) + 1 = 11 ]

Упростим:

[ 5y^2 + 5y + 1 = 11 ]

Переносим 11 влево, чтобы получить уравнение в стандартной форме:

[ 5y^2 + 5y + 1 - 11 = 0 ]

[ 5y^2 + 5y - 10 = 0 ]

Разделим все уравнение на 5, чтобы упростить:

[ y^2 + y - 2 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

Дискриминант ( D ) равен:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 ]

Корни уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ]

Это дает нам два решения для ( y ):

1. ( y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 )
2. ( y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 )

Теперь найдем соответствующие значения ( x ) для каждого значения ( y ).

Для ( y = 1 ):

[ x = 2y + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3 ]

Для ( y = -2 ):

[ x = 2y + 1 = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3 ]

Таким образом, у нас есть два решения системы:

1. ( (x, y) = (3, 1) )
2. ( (x, y) = (-3, -2) )

Эти решения можно проверить, подставив обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться в их правильности.