Х^2+у^2=12, ху=-6 помогите решить систему.

Рассмотрим систему уравнений:

1. $x^2+y^2=12$
2. $xy=-6$

Цель: найти значения $x$ и $y$.

Шаг 1: Используем квадрат суммы

Для решения системы воспользуемся свойством квадратов и сумм. Напомним формулу квадрата суммы:

$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$

Шаг 2: Выразим $x^2+y^2$ через $x+y$ и $xy$

Подставим известные данные из системы:

• $x^2+y^2=12$
• $xy=-6$

Подставим это в формулу квадрата суммы:

$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$

Подставим значения $x^2+y^2=12$ и $2xy=2(-6$ = -12 ):

$(x+y{)}^2=12-12=0$

Таким образом, $x+y=0$.

Шаг 3: Выразим $y$ через $x$

Мы знаем, что $x+y=0$, значит:

$y=-x$

Шаг 4: Подставим $y=-x$ в $xy=-6$

Подставим $y=-x$ во второе уравнение $xy=-6$:

$x(-x)=-6$

$-x^2=-6$

$x^2=6$

Отсюда:

$x=\pm \sqrt{6}$

Шаг 5: Найдем $y$

Так как $y=-x$, то:

• Если $x=\sqrt{6}$, то $y=-\sqrt{6}$.
• Если $x=-\sqrt{6}$, то $y=\sqrt{6}$.

Ответ:

Решение системы:

$(x,y)=(\sqrt{6},-\sqrt{6})\text{или}(x,y)=(-\sqrt{6},\sqrt{6}).$

Чтобы решить систему уравнений:

1. $x^2+y^2=12$
2. $xy=-6$

мы можем использовать метод подстановки и свойства квадратов.

1. Из второго уравнения $xy=-6$ выразим $y$ через $x$:

$y=\frac{-6}{x}$

1. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x^2+{\left(\frac{-6}{x}\right)}^2=12$

1. Упростим это уравнение:

$x^2+\frac{36}{x^2}=12$

1. Умножим обе стороны на $x^2$ $приусловии,что(x\ne 0$):

$x^4-12x^2+36=0$

1. Обозначим $z=x^2$. Получим квадратное уравнение:

$z^2-12z+36=0$

1. Решим это уравнение с помощью формулы дискриминанта:

$D=b^2-4ac=(-12{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=144-144=0$

1. Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

$z=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{2}=6$

1. Теперь вернемся к $x^2$:

$x^2=6$

1. Находим $x$:

$x=\sqrt{6}\text{или}x=-\sqrt{6}$

1. Теперь подставим найденные значения $x$ в уравнение для $y$:

Для $x=\sqrt{6}$:

$y=\frac{-6}{\sqrt{6}}=-\sqrt{6}$

Для $x=-\sqrt{6}$:

$y=\frac{-6}{-\sqrt{6}}=\sqrt{6}$

Таким образом, мы получаем два решения для системы:

1. $(x,y$ = $\sqrt{6},-\sqrt{6}$ )
2. $(x,y$ = $-\sqrt{6},\sqrt{6}$ )

Итак, решения системы:

$(x,y)=(\sqrt{6},-\sqrt{6})\text{и}(x,y)=(-\sqrt{6},\sqrt{6})$