Корень из 32*cos^2 7П/8 - корень из 8

Для решения заданного выражения начнем с упрощения тригонометрической части:

1. Сначала рассмотрим аргумент косинуса, ( \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) ). Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращения: [ \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) ] Это следует из того, что ( \cos(\pi - x) = -\cos(x) ).

2. Теперь нам нужно найти значение ( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) ). Это не так просто сделать без калькулятора, так как ( \frac{\pi}{8} ) не является стандартным углом. Однако, существуют формулы для вычисления косинуса половинного угла: [ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} ] Упростим это выражение: [ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ]

3. Подставим значение косинуса в исходное выражение: [ -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ] и возведем в квадрат: [ \left(-\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} ]

4. Теперь вычислим первую часть вашего выражения: [ \sqrt{32 \cdot \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)} = \sqrt{32 \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \sqrt{8(2 + \sqrt{2})} = 2\sqrt{2(2 + \sqrt{2})} ]

5. Вторая часть выражения просто равна ( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ).

6. Теперь соединим обе части: [ 2\sqrt{2(2 + \sqrt{2})} - 2\sqrt{2} ] Здесь можно вынести общий множитель: [ 2\sqrt{2}(\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1) ]

Таким образом, выражение ( \sqrt{32 \cdot \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)} - \sqrt{8} ) упрощается до ( 2\sqrt{2}(\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1) ).

√32cos^2(7π/8) - √8 = 4√2cos(7π/8) - 2√2

Для решения данного уравнения сначала нужно преобразовать его и упростить. Имеем: √(32*cos²(7π/8)) - √8

Далее, раскроем скобки и упростим: √(32cos(7π/8)cos(7π/8)) - √8 √(32cos(7π/8)cos(7π/8)) - √(42) √(32cos(7π/8)cos(7π/8)) - √4√2 √(32cos(7π/8)cos(7π/8)) - 2√2

После этого можно вычислить значения косинуса и получить решение.