ln(x+3)^7-7x-9 найдите максимум
ln(x+3)^7-7x-9 найдите максимум
Чтобы найти максимум функции ( f(x) = \ln((x+3)^7) - 7x - 9 ), нам нужно сначала упростить выражение и найти его производную.
Упростим функцию:
Функция ( f(x) = \ln((x+3)^7) - 7x - 9 ) может быть переписана с использованием свойства логарифмов: [ f(x) = 7 \ln(x+3) - 7x - 9 ]
Найдем производную функции:
Найдем производную ( f'(x) ): [ f'(x) = \frac{7}{x+3} - 7 ]
Найдем критические точки:
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: [ \frac{7}{x+3} - 7 = 0 ]
Решим это уравнение: [ \frac{7}{x+3} = 7 ]
[ 7 = 7(x+3) ]
[ 7 = 7x + 21 ]
[ 7x = 7 - 21 ]
[ 7x = -14 ]
[ x = -2 ]
Проверим, является ли эта точка максимумом:
Для этого найдем второй производную ( f''(x) ): [ f''(x) = -\frac{7}{(x+3)^2} ]
Подставим найденную критическую точку ( x = -2 ) в ( f''(x) ): [ f''(-2) = -\frac{7}{(-2+3)^2} = -\frac{7}{1} = -7 ]
Поскольку ( f''(-2) < 0 ), это означает, что в точке ( x = -2 ) функция имеет локальный максимум.
Найдем значение функции в точке максимума:
Подставим ( x = -2 ) в исходную функцию: [ f(-2) = 7 \ln(-2+3) - 7(-2) - 9 ]
[ f(-2) = 7 \ln(1) + 14 - 9 ]
[ f(-2) = 0 + 14 - 9 = 5 ]
Таким образом, функция ( f(x) = \ln((x+3)^7) - 7x - 9 ) достигает своего максимума в точке ( x = -2 ), и значение этого максимума равно 5.
Для нахождения максимума функции ln(x+3)^7 - 7x - 9 необходимо найти производную этой функции, приравнять ее к нулю и найти точку экстремума.
Для нахождения максимума данной функции ln(x+3)^7-7x-9 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.
Сначала найдем производную функции:
(ln(x+3)^7)' = 7(ln(x+3))^(7-1) (1/(x+3)) = 7(x+3)^6 (1/(x+3)) = 7(x+3)^5
Теперь найдем производную всей функции:
(Derivative of ln(x+3)^7) - (Derivative of 7x) - (Derivative of 9) = 7(x+3)^5 - 7
Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку, где производная равна нулю:
7(x+3)^5 - 7 = 0
7(x+3)^5 = 7
(x+3)^5 = 1
x+3 = 1^(1/5)
x+3 = 1
x = -2
Таким образом, максимум функции ln(x+3)^7-7x-9 достигается при x = -2.
