Лодка проплыла 21 км по течению реки и 6 км против течения за то же время, какое понадобилось бы плоту,...

Давайте обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч.

Сначала определим время, которое потребуется плоту, чтобы проплыть 10 км. Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна ( v ) км/ч. Время, за которое плот проплывает 10 км, можно выразить как: [ t = \frac{10}{v} ]

Теперь рассмотрим движение лодки. Скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч. Когда лодка движется по течению, её скорость складывается со скоростью течения реки: [ v_{\text{по течению}} = 5 + v ]

Когда лодка движется против течения, её скорость уменьшается на скорость течения реки: [ v_{\text{против течения}} = 5 - v ]

Лодка проплыла 21 км по течению и 6 км против течения за то же время, за которое плот проплывает 10 км. Время, которое лодка тратит на движение по течению, можно выразить как: [ t_{\text{по течению}} = \frac{21}{5 + v} ]

А время, которое лодка тратит на движение против течения: [ t_{\text{против течения}} = \frac{6}{5 - v} ]

По условию задачи, суммарное время движения лодки должно быть равно времени, за которое плот проплывает 10 км. Соответственно, имеем уравнение: [ \frac{21}{5 + v} + \frac{6}{5 - v} = \frac{10}{v} ]

Для решения этого уравнения нужно привести его к общему знаменателю и упростить. Общий знаменатель будет ( v(5 + v)(5 - v) ). Записываем уравнение с общим знаменателем: [ \frac{21v(5 - v) + 6v(5 + v)}{v(5 + v)(5 - v)} = \frac{10(5 + v)(5 - v)}{v(5 + v)(5 - v)} ]

Отсюда числители должны быть равны: [ 21v(5 - v) + 6v(5 + v) = 10(5 + v)(5 - v) ]

Раскроем скобки и упростим: [ 21v(5 - v) + 6v(5 + v) = 10(25 - v^2) ] [ 105v - 21v^2 + 30v + 6v^2 = 250 - 10v^2 ] [ 105v + 30v - 21v^2 + 6v^2 = 250 - 10v^2 ] [ 135v - 15v^2 = 250 - 10v^2 ]

Переносим все члены уравнения на одну сторону: [ -15v^2 + 10v^2 + 135v - 250 = 0 ] [ -5v^2 + 135v - 250 = 0 ]

Домножим уравнение на -1, чтобы упростить коэффициенты: [ 5v^2 - 135v + 250 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-135)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 250 ] [ D = 18225 - 5000 ] [ D = 13225 ]

Найдем корни уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{135 \pm \sqrt{13225}}{10} ] [ \sqrt{13225} = 115 ] [ v = \frac{135 \pm 115}{10} ]

Получаем два корня: [ v_1 = \frac{135 + 115}{10} = 25 ] [ v_2 = \frac{135 - 115}{10} = 2 ]

Скорость течения реки не может быть 25 км/ч, так как это больше, чем скорость лодки в стоячей воде. Таким образом, правильное значение скорости течения реки: [ v = 2 \text{ км/ч} ]

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.

Обозначим скорость течения реки как V, тогда скорость лодки вниз по течению реки будет равна 5 + V км/ч, а вверх - 5 - V км/ч.

Пусть время, за которое лодка проходит 21 км вниз по течению, равно времени, за которое она проходит 6 км вверх против течения. Тогда можно составить уравнение:

21 / (5 + V) = 6 / (5 - V)

21(5 - V) = 6(5 + V)

105 - 21V = 30 + 6V

27V = 75

V = 75 / 27 = 2.78 км/ч

Таким образом, скорость течения реки равна примерно 2.78 км/ч.