Log 135 по основанию 3 - log 20 по основанию 3 + 2*log 6 по основанию 3

Для начала, вспомним свойство логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов одного и того же числа по одному и тому же основанию равна логарифму отношения этих чисел: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c).

Применяя это свойство к данному примеру, получим: log_3(135) - log_3(20) + 2*log_3(6) = log_3(135/20) + log_3(6^2) = log_3(6.75) + log_3(36).

Теперь объединим логарифмы суммой аргументов: log_3(6.75) + log_3(36) = log_3(6.75 * 36) = log_3(243) = 5.

Таким образом, выражение log_3(135) - log_3(20) + 2*log_3(6) равно 5.

Для решения выражения (\log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6), мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить его.

1. Используем свойство разности логарифмов:

   [ \log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right) ]

   Применим это свойство к первым двум логарифмам:

   [ \log_3 135 - \log_3 20 = \log_3 \left(\frac{135}{20}\right) ]

2. Упростим дробь (\frac{135}{20}):

   Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 135 и 20. НОД равен 5.

   [ \frac{135}{20} = \frac{135 \div 5}{20 \div 5} = \frac{27}{4} ]

   Таким образом, имеем:

   [ \log_3 \left(\frac{135}{20}\right) = \log_3 \left(\frac{27}{4}\right) ]

3. Используем свойство степени логарифма:

   [ n\log_b a = \log_b (a^n) ]

   Применим это свойство к последнему логарифму:

   [ 2\log_3 6 = \log_3 (6^2) = \log_3 36 ]

4. Соберем всё вместе:

   Теперь наше выражение выглядит следующим образом:

   [ \log_3 \left(\frac{27}{4}\right) + \log_3 36 ]

   Используем свойство суммы логарифмов:

   [ \log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c) ]

   Применим его:

   [ \log_3 \left(\frac{27}{4}\right) + \log_3 36 = \log_3 \left(\frac{27}{4} \cdot 36\right) ]

5. Упростим выражение:

   [ \frac{27}{4} \cdot 36 = \frac{27 \cdot 36}{4} ]

   Сначала умножим числители:

   [ 27 \cdot 36 = 972 ]

   Теперь упростим дробь:

   [ \frac{972}{4} = 243 ]

6. Находим логарифм:

   [ \log_3 243 ]

   Проверим, является ли 243 степенью тройки:

   [ 243 = 3^5 ]

   Следовательно:

   [ \log_3 243 = \log_3 3^5 = 5 ]

Таким образом, значение выражения (\log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6) равно 5.

3