Log по основанию 1/6 (10-x)+log по основанию 1/6 (x-3) больше или равно -1

Рассмотрим неравенство:

[ \log{\frac{1}{6}}(10-x) + \log{\frac{1}{6}}(x-3) \geq -1 ]

Сначала упростим выражение, используя свойство логарифмов:

[ \log{\frac{1}{6}}(10-x) + \log{\frac{1}{6}}(x-3) = \log_{\frac{1}{6}}((10-x)(x-3)) ]

Теперь неравенство принимает вид:

[ \log_{\frac{1}{6}}((10-x)(x-3)) \geq -1 ]

Для того чтобы убрать логарифм, выразим неравенство в показательной форме:

[ (10-x)(x-3) \leq (\frac{1}{6})^{-1} ]

Поскольку ((\frac{1}{6})^{-1} = 6), то неравенство становится:

[ (10-x)(x-3) \leq 6 ]

Теперь раскроем скобки:

[ 10x - 3x - x^2 + 30 \leq 6 ]

Упростим выражение:

[ -x^2 + 7x + 30 \leq 6 ]

Перенесем 6 влево:

[ -x^2 + 7x + 30 - 6 \leq 0 ]

[ -x^2 + 7x + 24 \leq 0 ]

Домножим на (-1) для удобства (не забывая при этом поменять знак неравенства):

[ x^2 - 7x - 24 \geq 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 - 7x - 24 = 0) для нахождения корней:

Дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 49 + 96 = 145 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{145}}{2} ]

Обозначим корни как (x_1) и (x_2). Неравенство (x^2 - 7x - 24 \geq 0) выполняется при (x \leq x_1) или (x \geq x_2).

Теперь вернемся к исходному выражению, чтобы определить область допустимых значений:

1. (10-x > 0 \Rightarrow x < 10)
2. (x-3 > 0 \Rightarrow x > 3)

Таким образом, область допустимых значений: (3 < x < 10).

Совместив это с решением квадратного неравенства, получаем:

(x \in (3, x_1] \cup [x_2, 10)), где (x_1 = \frac{7 - \sqrt{145}}{2}) и (x_2 = \frac{7 + \sqrt{145}}{2}).

Однако, так как (x_1) и (x_2) не являются целыми числами, и с учетом области допустимых значений, окончательный ответ будет числовым промежутком, на котором выполняется неравенство: (x \in (3, x_1]).

Для начала заметим, что логарифм с основанием 1/6 можно переписать как логарифм с основанием 6: log по основанию 1/6 (10-x) = log по основанию 6 (10-x) log по основанию 1/6 (x-3) = log по основанию 6 (x-3)

Таким образом, наше уравнение примет вид: log6(10-x) + log6(x-3) >= -1

Используя свойства логарифмов, мы можем переписать уравнение следующим образом: log6((10-x)(x-3)) >= -1 (10-x)(x-3) >= 6^(-1) (10-x)(x-3) >= 1/6

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 10x - 3x - 30 >= 1/6 7x - 30 >= 1/6 7x >= 30 + 1/6 7x >= 180/6 + 1/6 7x >= 181/6 x >= 181/42

Таким образом, решением данного неравенства будет x >= 181/42.