Log1/3xlog1/3(3x-2)=log1/3(3x-2) помогите пожалуйста решить
Log1/3xlog1/3(3x-2)=log1/3(3x-2) помогите пожалуйста решить
Конечно, давайте разберем это уравнение шаг за шагом. Ваше уравнение выглядит следующим образом:
[ \log{\frac{1}{3}} x \cdot \log{\frac{1}{3}} (3x-2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x-2) ]
Первое, что мы можем сделать, это обозначить (\log_{\frac{1}{3}} (3x-2)) как (a). Тогда уравнение примет следующий вид:
[ \log_{\frac{1}{3}} x \cdot a = a ]
Теперь мы можем упростить это уравнение. Если (a \neq 0), мы можем разделить обе стороны уравнения на (a):
[ \log_{\frac{1}{3}} x = 1 ]
Теперь решим это уравнение. Напомним, что (\log_{\frac{1}{3}} x = 1) означает, что (\left(\frac{1}{3}\right)^1 = x). То есть:
[ x = \frac{1}{3} ]
Теперь нужно проверить, что это значение (x) удовлетворяет исходному уравнению. Подставим (x = \frac{1}{3}) обратно в исходное уравнение:
[ \log{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right) \cdot \log{\frac{1}{3}} \left( 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \right) = \log_{\frac{1}{3}} \left( 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \right) ]
Теперь вычислим значения логарифмов. Заметим, что:
[ \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right) = 1 ]
и
[ 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 = 1 - 2 = -1 ]
Но здесь возникает проблема: (\log_{\frac{1}{3}} (-1)) не определен, так как логарифм отрицательного числа не существует в области действительных чисел.
Это означает, что (x = \frac{1}{3}) не является решением уравнения.
Теперь рассмотрим другой случай. Если (a = 0), то:
[ \log_{\frac{1}{3}} (3x-2) = 0 ]
Это означает, что (3x-2 = 1), так как (\log_{\frac{1}{3}} (1) = 0). Решим это уравнение:
[ 3x - 2 = 1 ]
[ 3x = 3 ]
[ x = 1 ]
Теперь проверим, что (x = 1) удовлетворяет исходному уравнению:
[ \log{\frac{1}{3}} (1) \cdot \log{\frac{1}{3}} (3 \cdot 1 - 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3 \cdot 1 - 2) ]
Сначала вычислим значения логарифмов:
[ \log_{\frac{1}{3}} (1) = 0 ]
и
[ 3 \cdot 1 - 2 = 1 ]
[ \log_{\frac{1}{3}} (1) = 0 ]
Таким образом, левая часть уравнения равна (0 \cdot 0 = 0), и правая часть тоже равна (0).
Это подтверждает, что (x = 1) является решением уравнения.
Итак, единственное решение уравнения:
[ x = 1 ]
Для начала приведем уравнение к более удобному виду, используя свойства логарифмов.
Используем свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(ab):
log1/3x + log1/3(3x-2) = log1/3(3x-2)
Теперь применим свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b):
log1/3x(3x-2) = log1/3(3x-2)
Теперь избавимся от логарифмов, применив обратную функцию - возведение в степень:
1/3x(3x-2) = 3x-2
Далее раскроем скобки и решим полученное уравнение:
x^2 - 2/3x = 3x - 2
Переносим все члены в одну сторону:
x^2 - 3x + 2 = 0
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
D = (-3)^2 - 412 = 9 - 8 = 1
Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:
x1 = (3 + √1)/2 = 2
x2 = (3 - √1)/2 = 1
Проверим найденные корни подстановкой в исходное уравнение:
При x = 2: log1/32log1/3(32-2) = log1/3(3*2-2)
log1/32*log1/3(6-2) = log1/3(6-2)
log1/32*log1/34 = log1/34
2*log1/34 = log1/34
2*4 = 4
При x = 1: log1/31log1/3(31-2) = log1/3(3*1-2)
log1/31*log1/3(3-2) = log1/3(3-2)
log1/31*log1/31 = log1/31
0*1 = 1
Таким образом, корень x = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а корень x = 1 - нет.
