Log^2 по основанию 3х-log3x=2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более простому виду. Используя свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b), получим: log^2(3x) - log(3x) = 2 log(3x) * log(3x) - log(3x) = 2 Представим log(3x) как переменную y: y^2 - y = 2 Теперь приведем уравнение к квадратному виду: y^2 - y - 2 = 0 (y - 2)(y + 1) = 0 Отсюда получаем два возможных решения для y: y1 = 2 y2 = -1 Теперь вернемся к переменной y и подставим обратно log(3x): log(3x) = 2 или log(3x) = -1 3x = 3^2 или 3x = 3^(-1) 3x = 9 или 3x = 1/3 x = 3 или x = 1/9

Таким образом, уравнение log^2(3x) - log(3x) = 2 имеет два решения: x = 3 и x = 1/9.

Рассмотрим уравнение:

[ \log^2_3{x} - \log_3{x} = 2 ]

Чтобы упростить его, введем замену переменной: ( y = \log_3{x} ). Тогда уравнение преобразуется в:

[ y^2 - y = 2 ]

Это квадратное уравнение, которое можно записать в стандартной форме:

[ y^2 - y - 2 = 0 ]

Теперь найдем корни этого уравнения. Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} ]

[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ]

[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ]

[ y = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня:

1. ( y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 )
2. ( y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 )

Теперь вернемся к исходной переменной ( x ). Поскольку ( y = \log_3{x} ), то:

1. Для ( y_1 = 2 ): [ \log_3{x} = 2 \implies x = 3^2 = 9 ]

2. Для ( y_2 = -1 ): [ \log_3{x} = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3} ]

Таким образом, уравнение (\log^2_3{x} - \log_3{x} = 2) имеет два решения:

( x = 9 ) и ( x = \frac{1}{3} ).