Log_2 (x) + 5log_x (2) =6

Для решения уравнения ( \log_2 (x) + 5\log_x (2) = 6 ), начнем с преобразования второго логарифма. Напомним, что:

[ \log_x (2) = \frac{1}{\log_2 (x)} ]

Таким образом, уравнение можно переписать как:

[ \log_2 (x) + \frac{5}{\log_2 (x)} = 6 ]

Обозначим ( y = \log_2 (x) ). Тогда уравнение превращается в:

[ y + \frac{5}{y} = 6 ]

Умножим обе части уравнения на ( y ) для устранения дроби:

[ y^2 + 5 = 6y ]

Переносим все члены в одну часть уравнения:

[ y^2 - 6y + 5 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 5 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} ] [ y = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ y = \frac{6 \pm 4}{2} ]

Это дает нам два возможных значения для ( y ):

1. ( y = \frac{6 + 4}{2} = 5 )
2. ( y = \frac{6 - 4}{2} = 1 )

Теперь вернемся к исходной переменной ( x ), помня, что ( y = \log_2 (x) ).

1. Если ( y = 5 ), то ( \log_2 (x) = 5 ), что означает ( x = 2^5 = 32 ).
2. Если ( y = 1 ), то ( \log_2 (x) = 1 ), что означает ( x = 2^1 = 2 ).

Таким образом, уравнение имеет два решения: ( x = 32 ) и ( x = 2 ).

Для решения данного уравнения нам необходимо преобразовать его в более удобную форму. Для этого воспользуемся свойством логарифмов: log_a (b) = 1 / log_b (a).

Изначальное уравнение: log_2 (x) + 5log_x (2) = 6.

Преобразуем логарифмы согласно свойству: 1 / log_x (2) + 5 / log_x (2) = 6.

Объединяем дроби: (1 + 5) / log_x (2) = 6.

Упрощаем: 6 / log_x (2) = 6.

Далее избавляемся от дроби, умножив обе части уравнения на log_x (2): 6 = 6 * log_x (2).

Теперь остается решить уравнение 6 = 6 * log_x (2). Разделим обе части на 6: 1 = log_x (2).

Используя определение логарифма, получаем: x^1 = 2.

Таким образом, решением уравнения log_2 (x) + 5log_x (2) = 6 является x = 2.