Log^2(3)x-3log3x+2=0

Для решения данного уравнения необходимо использовать свойства логарифмов и преобразовать его к виду, где можно выразить x.

Рассмотрим уравнение:

[ (\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно переменной (y = \log_3 x). Подставим (y) вместо (\log_3 x):

[ y^2 - 3y + 2 = 0 ]

Решим квадратное уравнение (y^2 - 3y + 2 = 0). Для этого найдем корни с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения:

• (a = 1)
• (b = -3)
• (c = 2)

Дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня:

[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 ]

[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 ]

Теперь вернемся к переменной (x):

1. Для (y = 2):

[ \log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9 ]

1. Для (y = 1):

[ \log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3 ]

Итак, уравнение ((\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0) имеет два решения: (x = 9) и (x = 3).

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, используя свойства логарифмов.

log^2(3)x - 3log3x + 2 = 0

Заметим, что log^2(3)x = (log3x)^2. Подставим это в уравнение:

(log3x)^2 - 3log3x + 2 = 0

Теперь проведем замену переменной: обозначим log3x за t. Получим квадратное уравнение относительно t:

t^2 - 3t + 2 = 0

Далее решаем это уравнение как обычное квадратное уравнение. Ищем корни:

D = 3^2 - 412 = 9 - 8 = 1

t1 = (3 + √1)/2 = 2 t2 = (3 - √1)/2 = 1

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим обратно вместо t значение log3x:

log3x = 1 или log3x = 2

Теперь найдем x, используя определение логарифма:

Для log3x = 1: 3^1 = x, x = 3

Для log3x = 2: 3^2 = x, x = 9

Итак, уравнение log^2(3)x - 3log3x + 2 = 0 имеет два решения: x = 3 и x = 9.