Log(x+1)(x^2-3x+1)=1 x+1 - основание логарифма

Для решения данного уравнения с логарифмом необходимо использовать свойства логарифмов. Известно, что логарифм от 1 равен 0. Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

x^2 - 3x + 1 = 0

Далее, решим квадратное уравнение:

D = (-3)^2 - 411 = 9 - 4 = 5

x1,2 = (3 ± √5)/2

Таким образом, корни уравнения будут:

x1 = (3 + √5)/2 x2 = (3 - √5)/2

Таким образом, мы нашли все решения уравнения.

Рассмотрим уравнение:

[ \log_{x+1}(x^2 - 3x + 1) = 1 ]

По определению логарифма, это уравнение можно переписать в показательной форме:

[ x^2 - 3x + 1 = (x+1)^1 ]

что упрощается до:

[ x^2 - 3x + 1 = x + 1 ]

Теперь перенесем все члены уравнения на одну сторону:

[ x^2 - 3x + 1 - x - 1 = 0 ]

Упрощаем это выражение:

[ x^2 - 4x = 0 ]

Теперь вынесем (x) за скобки:

[ x(x - 4) = 0 ]

Это уравнение имеет два корня:

1. (x = 0)
2. (x = 4)

Однако, так как основание логарифма (x + 1) должно быть больше нуля и не равняться 1, мы должны проверить, какие из найденных решений удовлетворяют этим условиям:

1. Для (x = 0), основание логарифма будет (0 + 1 = 1), что недопустимо.
2. Для (x = 4), основание логарифма будет (4 + 1 = 5), что допустимо.

Теперь проверим, что (x = 4) действительно является решением исходного уравнения:

Подставим (x = 4) в уравнение (x^2 - 3x + 1):

[ 4^2 - 3 \times 4 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5 ]

Итак, у нас есть:

[ \log_5(5) = 1 ]

Это верно, поскольку (\log_5(5) = 1) по определению логарифма.

Следовательно, единственное допустимое решение уравнения (\log_{x+1}(x^2 - 3x + 1) = 1) - это (x = 4).

x = 1, x = 2