Лыжник должен был проехать 10 км, чтобы в назначенное время вернуться в турестический лагерь. В середине...

Пусть x - первоначальная скорость лыжника, тогда время, которое он потратил на прохождение первой половины пути равно 10/(2x). Задержавшись на 15 минут (или 0.25 часа), он потратил на вторую половину пути время 10/(2*(x+10)).

Итак, суммарное время пути равно: 10/(2x) + 10/(2*(x+10)) = 10/x

Упростим уравнение: 1/x + 1/(x+10) = 1

Умножим обе части на x(x+10): x+10 + x = x(x+10) 2x + 10 = x^2 + 10x x^2 + 8x - 10 = 0

Решив квадратное уравнение, получаем: x = (-8 + sqrt(8^2 + 4*10))/2 = (-8 + sqrt(104))/2 ≈ 4.58 км\ч

Итак, первоначальная скорость лыжника была около 4.58 км\ч.

Чтобы решить эту задачу, обозначим начальную скорость лыжника как ( v ) км/ч. Лыжник должен проехать 10 км, то есть 5 км в одну сторону и 5 км обратно.

Пусть время, которое лыжник тратит для преодоления 5 км в одну сторону при начальной скорости ( v ), равно ( t_1 ). Тогда:

[ t_1 = \frac{5}{v} ]

В середине пути лыжник задержался на 15 минут, что составляет ( \frac{15}{60} = 0.25 ) часа.

После задержки он увеличивает скорость на 10 км/ч, то есть его новая скорость составляет ( v + 10 ) км/ч. Время, которое лыжник тратит для преодоления оставшихся 5 км с новой скоростью, равно ( t_2 ):

[ t_2 = \frac{5}{v + 10} ]

По условию задачи, лыжник прибыл вовремя, несмотря на задержку. Это означает, что общее время в пути с учётом задержки равно времени, которое он бы потратил без задержки:

[ t_1 + 0.25 + t_2 = 2t_1 ]

Подставляя выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ), получаем:

[ \frac{5}{v} + 0.25 + \frac{5}{v + 10} = 2 \cdot \frac{5}{v} ]

Упростим уравнение:

[ \frac{5}{v} + 0.25 + \frac{5}{v + 10} = \frac{10}{v} ]

Вычтем ( \frac{5}{v} ) с обеих сторон:

[ 0.25 + \frac{5}{v + 10} = \frac{5}{v} ]

Теперь выразим ( \frac{5}{v + 10} ):

[ \frac{5}{v + 10} = \frac{5}{v} - 0.25 ]

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на ( v(v + 10) ):

[ 5v = 5(v + 10) - 0.25v(v + 10) ]

Раскроем скобки и упростим:

[ 5v = 5v + 50 - 0.25v^2 - 2.5v ]

Переносим все на одну сторону:

[ 0.25v^2 + 2.5v - 50 = 0 ]

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

[ v^2 + 10v - 200 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 ]

Корни уравнения:

[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2} ]

[ v = \frac{-10 \pm 30}{2} ]

Получаем два значения:

[ v_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{(положительное решение)} ]

[ v_2 = \frac{-40}{2} = -20 \quad \text{(отрицательное, не подходит)} ]

Таким образом, первоначальная скорость лыжника была 10 км/ч.