Методом интервалов решить неравенство 1)(x+5)(x+2)>0; 2)(x+1)(x-4)<или=0; 3)x-7/x+8<или=0;...

1) (-∞, -5) ∪ (-2, +∞) 2) (-1, 4] 3) (-∞, -8) ∪ (7, +∞) 4) (-∞, -6) ∪ (10, +∞) 5) (-∞, -3) ∪ (0, 1) ∪ (+∞, +3) 6) (-∞, -2) ∪ (0, 3) 7) (-∞, -1) ∪ (0, +∞) 8) (-∞, -2) ∪ (-1/3, 0) ∪ (+∞, +2)

Для решения неравенств методом интервалов необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите нули числителей и знаменателей, если они есть.
2. Разделите числовую прямую на интервалы, используя найденные нули.
3. Определите знак выражения на каждом из интервалов.
4. Выберите интервалы, которые удовлетворяют неравенству.

Теперь решим каждое из заданных неравенств:

1) ((x+5)(x+2) > 0)

• Найдем нули: (x = -5) и (x = -2).
• Разделяем числовую прямую на интервалы: ((-∞, -5)), ((-5, -2)), ((-2, ∞)).
• Определим знаки на интервалах:
  • При (x \in (-∞, -5)): оба множителя отрицательны, произведение положительное.
  • При (x \in (-5, -2)): один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательное.
  • При (x \in (-2, ∞)): оба множителя положительны, произведение положительное.
• Решение: (x \in (-∞, -5) \cup (-2, ∞)).

2) ((x+1)(x-4) \leq 0)

• Нули: (x = -1) и (x = 4).
• Интервалы: ((-∞, -1)), ((-1, 4)), ((4, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -1)): оба множителя отрицательны, произведение положительное.
  • ((-1, 4)): один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательное.
  • ((4, ∞)): оба множителя положительны, произведение положительное.
• Включаем точки, где выражение равно нулю: (x = -1) и (x = 4).
• Решение: (x \in [-1, 4]).

3) (\frac{x-7}{x+8} \leq 0)

• Нули: числитель (x = 7), знаменатель (x = -8).
• Интервалы: ((-∞, -8)), ((-8, 7)), ((7, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -8)): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
  • ((-8, 7)): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
  • ((7, ∞)): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
• Включаем ноль числителя: (x = 7).
• Решение: (x \in (-8, 7]).

4) (\frac{x+6}{x-10} \geq 0)

• Нули: числитель (x = -6), знаменатель (x = 10).
• Интервалы: ((-∞, -6)), ((-6, 10)), ((10, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -6)): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
  • ((-6, 10)): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
  • ((10, ∞)): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
• Включаем ноль числителя: (x = -6).
• Решение: (x \in (-∞, -6] \cup (10, ∞)).

5) ((x-1)x(x+3) > 0)

• Нули: (x = 1), (x = 0), (x = -3).
• Интервалы: ((-∞, -3)), ((-3, 0)), ((0, 1)), ((1, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -3)): все множители отрицательны, произведение отрицательное.
  • ((-3, 0)): два множителя отрицательны, один положителен, произведение положительное.
  • ((0, 1)): один множитель отрицателен, два положительны, произведение отрицательное.
  • ((1, ∞)): все множители положительны, произведение положительное.
• Решение: (x \in (-3, 0) \cup (1, ∞)).

6) (x(x+2)(x-3) > 0)

• Нули: (x = 0), (x = -2), (x = 3).
• Интервалы: ((-∞, -2)), ((-2, 0)), ((0, 3)), ((3, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -2)): все множители отрицательны, произведение отрицательное.
  • ((-2, 0)): два множителя отрицательны, один положителен, произведение положительное.
  • ((0, 3)): один множитель отрицателен, два положительны, произведение отрицательное.
  • ((3, ∞)): все множители положительны, произведение положительное.
• Решение: (x \in (-2, 0) \cup (3, ∞)).

7) (\frac{2x^2-x}{x+1} > 0)

• Нули числителя: (x(2x-1) = 0 \Rightarrow x = 0) и (x = \frac{1}{2}).
• Нуль знаменателя: (x = -1).
• Интервалы: ((-∞, -1)), ((-1, 0)), ((0, \frac{1}{2})), ((\frac{1}{2}, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -1)): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
  • ((-1, 0)): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
  • ((0, \frac{1}{2})): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
  • ((\frac{1}{2}, ∞)): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
• Решение: (x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, ∞)).

8) (\frac{3x^2+x}{x-2} \leq 0)

• Нули числителя: (x(3x+1) = 0 \Rightarrow x = 0) и (x = -\frac{1}{3}).
• Нуль знаменателя: (x = 2).
• Интервалы: ((-∞, -\frac{1}{3})), ((- \frac{1}{3}, 0)), ((0, 2)), ((2, ∞)).
• Знаки:
  • ((-∞, -\frac{1}{3})): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
  • ((- \frac{1}{3}, 0)): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
  • ((0, 2)): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
  • ((2, ∞)): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
• Включаем нули числителя: (x = 0) и (x = -\frac{1}{3}).
• Решение: (x \in [-\frac{1}{3}, 0] \cup (0, 2]).

Таким образом, каждое из неравенств решено методом интервалов, указаны интервалы, на которых выполняется неравенство.

1) Начнем с неравенства (x+5)(x+2) > 0. Сначала найдем корни уравнения (x+5)(x+2) = 0. Приравниваем каждый множитель к нулю: x+5=0 => x=-5 и x+2=0 => x=-2. Эти корни разбивают вещественную прямую на три интервала: (-бесконечность, -5), (-5, -2) и (-2, +бесконечность). Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения (x+5)(x+2) в этой точке. Например, для интервала (-бесконечность, -5) возьмем x=-6, для интервала (-5, -2) возьмем x=-3, для интервала (-2, +бесконечность) возьмем x=0. Подставляем значения x в (x+5)(x+2): (-6+5)(-6+2) = 14 = 4 > 0, (-3+5)(-3+2) = 2-1 = -2 < 0, (0+5)(0+2) = 5*2 = 10 > 0. Таким образом, неравенство (x+5)(x+2) > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -5) и (0, +бесконечность).

2) Для неравенства (x+1)(x-4) ≤ 0, аналогично находим корни уравнения (x+1)(x-4) = 0: x+1=0 => x=-1 и x-4=0 => x=4. Получаем интервалы (-бесконечность, -1), (-1, 4) и (4, +бесконечность). Проверяем знак выражения (x+1)(x-4) на каждом интервале: (-2+1)(-2-4) = -1-6 = 6 > 0, (0+1)(0-4) = 1-4 = -4 < 0, (5+1)(5-4) = 6*1 = 6 > 0. Следовательно, неравенство (x+1)(x-4) ≤ 0 выполняется на интервалах (-1, 4).

3) Для неравенства x-7/x+8 ≤ 0, сначала находим корень уравнения x-7/x+8 = 0. Решим уравнение: x-7 = 0 => x=7. Получаем интервалы (-бесконечность, -8), (-8, 7) и (7, +бесконечность). Проверяем знак выражения x-7/x+8 на каждом интервале: (-9-7)/(-9+8) = -16/-1 = 16 > 0, (0-7)/(0+8) = -7/8 < 0, (8-7)/(8+8) = 1/16 > 0. Следовательно, неравенство x-7/x+8 ≤ 0 выполняется на интервалах (-8, 7].

4) Для неравенства x+6/x-10 ≥ 0, найдем корни уравнения x+6/x-10 = 0: x+6 = 0 => x=-6 и x-10 = 0 => x=10. Получаем интервалы (-бесконечность, -6), (-6, 10) и (10, +бесконечность). Проверяем знак выражения x+6/x-10 на каждом интервале: (-7+6)/(-7-10) = -1/-17 = 1/17 > 0, (0+6)/(0-10) = 6/-10 < 0, (11+6)/(11-10) = 17/1 > 0. Таким образом, неравенство x+6/x-10 ≥ 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -6) и (10, +бесконечность).

5) Для неравенства (x-1)x(x+3) > 0, найдем корни уравнения (x-1)x(x+3) = 0: x-1 = 0 => x=1, x=0 и x+3 = 0 => x=-3. Получаем интервалы (-бесконечность, -3), (-3, 0), (0, 1) и (1, +бесконечность). Проверяем знак выражения (x-1)x(x+3) на каждом интервале: (-4-1)(-4+3) = -5-1 = 5 > 0, (-2-1)(-2+3) = -31 = -3 < 0, (0-1)(0+3) = -13 = -3 < 0, (2-1)(2+3) = 15 = 5 > 0. Следовательно, неравенство (x-1)x(x+3) > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -3) и (1, +бесконечность).

6) Для неравенства x(x+2)(x-3) > 0, находим корни уравнения x(x+2)(x-3) = 0: x=0, x=-2 и x=3. Получаем интервалы (-бесконечность, -2), (-2, 0), (0, 3) и (3, +бесконечность). Проверяем знак выражения x(x+2)(x-3) на каждом интервале: (-3)(-1)(-6) = 18 > 0, (-1)(1)(-6) = 6 < 0, (1)(3)(0) = 0 < 0, (4)(6)(0) = 0 < 0. Таким образом, неравенство x(x+2)(x-3) > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -2) и (3, +бесконечность).

7) Для неравенства 2x^2-x/x+1 > 0, преобразуем выражение: 2x^2-x/x+1 = (2x^2-x)/(x+1). Найдем корень уравнения (2x^2-x)/(x+1) = 0: 2x^2-x = 0 => x(2x-1) = 0 => x=0 и x=1/2. Получаем интервалы (-бесконечность, 0), (0, 1/2), (1/2, +бесконечность). Проверяем знак выражения (2x^2-x)/(x+1) на каждом интервале: (1)(-1)/(1) = -1 < 0, (1/4)(-1/2)/(3/2) = -1/8 < 0, (1)(1/2)/(2) = 1/4 > 0. Следовательно, неравенство 2x^2-x/x+1 > 0 выполняется на интервале (1/2, +бесконечность).

8) Для неравенства 3x^2+x/x-2 ≤ 0, преобразуем выражение: 3x^2+x/x-2 = (3x^2+x)/(x-2). Найдем корень уравнения (3x^2+x)/(x-2) = 0: 3x^2+x = 0 => x(3x+1) = 0 => x=0 и x=-1/3. Получаем интервалы (-бесконечность, -1/3), (-1/3, 0), (0, +бесконечность). Проверяем знак выражения (3x^2+x)/(x-2) на каждом интервале: (-1/9)(-1/3)/(-5/3) = 1/9 > 0, (1/3)(1)/(-2) = -1/6 < 0, (1)(1)/(2) = 1/2 > 0. Следовательно, неравенство 3x^2+x/x-2 ≤ 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -1/3) и (0, +бесконечность).