Многочлен Р(х)=х^3+ax^2+bx-18 при делении на (х+2) дает в остатке 20, а на (х-3) делится без остатка....

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой о остатке и теоремой Безу.

1. Теорема о остатке утверждает, что остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( x - c ) равен ( P(c) ). В данном случае, при делении многочлена ( P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 18 ) на ( x + 2 ), остаток равен 20. Это означает, что:

   [ P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 18 = 20 ]

   Упрощая, получаем:

   [ -8 + 4a - 2b - 18 = 20 ]

   [ 4a - 2b - 26 = 20 ]

   [ 4a - 2b = 46 ]

   [ 2a - b = 23 \quad \text{(1)} ]

2. Теорема Безу утверждает, что если многочлен делится на ( x - c ) без остатка, то ( P(c) = 0 ). Для деления на ( x - 3 ) без остатка, имеем:

   [ P(3) = (3)^3 + a(3)^2 + b(3) - 18 = 0 ]

   Упрощая, получаем:

   [ 27 + 9a + 3b - 18 = 0 ]

   [ 9a + 3b + 9 = 0 ]

   [ 9a + 3b = -9 ]

   [ 3a + b = -3 \quad \text{(2)} ]

Теперь у нас есть система уравнений:

[ \begin{cases} 2a - b = 23 \ 3a + b = -3 \end{cases} ]

Для решения этой системы уравнений сложим их:

[ (2a - b) + (3a + b) = 23 - 3 ]

[ 5a = 20 ]

[ a = 4 ]

Подставим значение ( a = 4 ) в одно из уравнений, например, в (1):

[ 2(4) - b = 23 ]

[ 8 - b = 23 ]

[ -b = 15 ]

[ b = -15 ]

Таким образом, коэффициенты ( a ) и ( b ) равны 4 и -15 соответственно.

Для начала, найдем остаток от деления многочлена Р(х) на (х+2). Для этого подставим (-2) вместо х в многочлен Р(х):

P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 18 P(-2) = -8 + 4a - 2b - 18 P(-2) = 4a - 2b - 26

Мы знаем, что остаток от деления на (х+2) равен 20:

P(-2) = 20 4a - 2b - 26 = 20 4a - 2b = 46 2a - b = 23

Теперь, найдем коэффициенты a и b, учитывая, что многочлен Р(х) делится на (х-3) без остатка:

P(3) = 3^3 + a3^2 + b3 - 18 P(3) = 27 + 9a + 3b - 18 P(3) = 9a + 3b + 9

Поскольку многочлен делится на (х-3) без остатка:

P(3) = 0 9a + 3b + 9 = 0 3a + b = -3

Теперь решим систему уравнений:

2a - b = 23 3a + b = -3

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым:

2a - b + 6a + 2b = 46 8a + b = 46 8a = 46 a = 46 / 8 a = 5.75

Подставим найденное значение a во второе уравнение:

3*5.75 + b = -3 17.25 + b = -3 b = -3 - 17.25 b = -20.25

Итак, коэффициенты a = 5.75 и b = -20.25.