Моторная лодка на 21 км по течению реки и на обратный путь затратил 2 часа и 40 мин. В другой раз та...

Обозначим собственную скорость моторной лодки как $v$, а скорость течения реки как $c$.

1. В первом случае моторная лодка прошла 21 км по течению и 21 км против течения. Время в пути составило 2 часа и 40 минут, что равно $2+\frac{40}{60}=\frac{8}{3}$ часа. $\frac{21}{v+c}+\frac{21}{v-c}=\frac{8}{3}$

2. Во втором случае лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив 2 часа: $\frac{18}{v+c}+\frac{14}{v-c}=2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Решив её, можно найти значения $v$ и $c$.

Решение:

1. Умножим первое уравнение на $3(v+c$$v-c$ ): $63(v-c)+63(v+c)=8(v^2-c^2)⟹126v=8(v^2-c^2)⟹8v^2-126v-8c^2=0$

2. Умножим второе уравнение на $2(v+c$$v-c$ ): $36(v-c)+28(v+c)=2(v^2-c^2)⟹64v=2(v^2-c^2)⟹2v^2-64v-2c^2=0$

Далее решая систему уравнений, получаем:

Собственная скорость моторной лодки $v=18$ км/ч, скорость течения $c=3$ км/ч.

Для решения задачи давайте обозначим:

• $v$ — собственная скорость моторной лодки $вкм/ч$,
• $c$ — скорость течения реки $вкм/ч$.

1. Первая ситуация: 21 км по течению и 21 км против течения

По течению скорость лодки будет $v+c$, а против течения — $v-c$. Время, затраченное на путь, можно выразить через расстояние и скорость:

• Время по течению: $t_1=\frac{21}{v+c}$

• Время против течения: $t_2=\frac{21}{v-c}$

Общее время, затраченное на путь $2часа40минут$, можно перевести в часы: $2\text{ часа }40\text{ минут}=2+\frac{40}{60}=\frac{8}{3}\text{ часа}$

Теперь можем записать уравнение для общего времени: $\frac{21}{v+c}+\frac{21}{v-c}=\frac{8}{3}$

Умножим обе части уравнения на $3(v+c$$v-c$ ): $3\cdot 21(v-c)+3\cdot 21(v+c)=8(v^2-c^2)$

Упрощая уравнение: $63(v-c)+63(v+c)=8(v^2-c^2)$ $63v-63c+63v+63c=8v^2-8c^2$ $126v=8v^2-8c^2$ $8v^2-126v-8c^2=0\text{(уравнение 1)}$

2. Вторая ситуация: 18 км по течению и 14 км против течения

Аналогично, мы можем записать уравнения для второго случая:

• Время по течению: $t_3=\frac{18}{v+c}$

• Время против течения: $t_4=\frac{14}{v-c}$

Общее время, затраченное на путь, составляет 2 часа: $2=\frac{18}{v+c}+\frac{14}{v-c}$

Умножим обе части уравнения на $(v+c$$v-c$ ): $2(v+c)(v-c)=18(v-c)+14(v+c)$

Упрощаем: $2(v^2-c^2)=18v-18c+14v+14c$ $2v^2-2c^2=32v-4c$

Перепишем уравнение: $2v^2-32v+4c-2c^2=0$ $v^2-16v+2c-c^2=0\text{(уравнение 2)}$

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. $8v^2-126v-8c^2=0$
2. $v^2-16v+2c-c^2=0$

Сначала, из уравнения 1 выразим $c^2$: $8c^2=8v^2-126v$ $c^2=v^2-\frac{126}{8}v$ $c^2=v^2-15.75v$

Теперь подставим это значение во второе уравнение: $v^2-16v+2c-(v^2-15.75v)=0$ $-16v+2c+15.75v=0$ $-0.25v+2c=0\Rightarrow c=0.125v$

Теперь подставим значение $c$ в первое уравнение: $8v^2-126v-8(0.125v{)}^2=0$ $8v^2-126v-0.125v^2=0$ $(8-0.125)v^2-126v=0$ $7.875v^2-126v=0$ $v(7.875v-126)=0$

Таким образом, $v=0$ $неимеетсмысла$ или $7.875v-126=0$: $v=\frac{126}{7.875}\approx 16$

Теперь, подставим значение $v$ обратно для нахождения $c$: $c=0.125\cdot 16=2$

Ответ

Собственная скорость моторной лодки $v$ составляет 16 км/ч, а скорость течения $c$ — 2 км/ч.

Рассмотрим задачу и решим её, обозначив неизвестные величины буквами и используя уравнения.

Обозначения:

• $v$ — собственная скорость моторной лодки $вкм/ч$;
• $u$ — скорость течения реки $вкм/ч$.

Первая ситуация

Моторная лодка преодолела 21 км по течению и 21 км против течения за $2\text{ч}40\text{мин}=\frac{8}{3}\text{ч}$.

1. Скорость лодки по течению: $v+u$.
2. Скорость лодки против течения: $v-u$.

Время, которое лодка затратила на путь по течению:

$t_1=\frac{21}{v+u}.$

Время, которое лодка затратила на путь против течения:

$t_2=\frac{21}{v-u}.$

Суммарное время:

$t_1+t_2=\frac{8}{3}.$

Подставляем выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{21}{v+u}+\frac{21}{v-u}=\frac{8}{3}.$

Упростим:

$21(\frac{1}{v+u}+\frac{1}{v-u})=\frac{8}{3}.$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{21\cdot (v-u)+21\cdot (v+u)}{(v+u)(v-u)}=\frac{8}{3}.$

Считаем числитель:

$21(v-u)+21(v+u)=21v-21u+21v+21u=42v.$

Получаем уравнение:

$\frac{42v}{(v+u)(v-u)}=\frac{8}{3}.$

Умножим обе части на $3(v+u$$v-u$ ), чтобы избавиться от дробей:

$126v=8(v^2-u^2).$

Раскроем скобки:

$126v=8v^2-8u^2.$

Перепишем в стандартном виде:

$8v^2-126v-8u^2=0.$

Вторая ситуация

Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения за $2\text{ч}$.

1. Время на путь по течению:

$t_3=\frac{18}{v+u}.$

1. Время на путь против течения:

$t_4=\frac{14}{v-u}.$

Суммарное время:

$t_3+t_4=2.$

Подставляем выражения для $t_3$ и $t_4$:

$\frac{18}{v+u}+\frac{14}{v-u}=2.$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{18(v-u)+14(v+u)}{(v+u)(v-u)}=2.$

Считаем числитель:

$18(v-u)+14(v+u)=18v-18u+14v+14u=32v-4u.$

Получаем уравнение:

$\frac{32v-4u}{(v+u)(v-u)}=2.$

Умножим обе части на $(v+u$$v-u$ ):

$32v-4u=2(v^2-u^2).$

Раскроем скобки:

$32v-4u=2v^2-2u^2.$

Перепишем в стандартном виде:

$2v^2-2u^2-32v+4u=0.$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $8v^2-126v-8u^2=0;$
2. $2v^2-2u^2-32v+4u=0.$

Упростим второе уравнение:

Разделим обе части на 2:

$v^2-u^2-16v+2u=0.$

Из первого уравнения выразим $u^2$:

Перепишем первое уравнение:

$8v^2-8u^2=126v.$

Разделим обе части на 8:

$v^2-u^2=\frac{126v}{8}.$

Подставим это в третье уравнение:

$\frac{126v}{8}-16v+2u=0.$

Упростим:

$\frac{126v}{8}-\frac{128v}{8}+\frac{16u}{8}=0.$

$\frac{-2v+16u}{8}=0.$

Умножим на 8:

$-2v+16u=0.$

$u=\frac{v}{8}.$

Подставим $u=\frac{v}{8}$ в первое уравнение:

Перепишем первое уравнение:

$8v^2-126v-8u^2=0.$

Подставим $u=\frac{v}{8}$, тогда $u^2=\frac{v^2}{64}$:

$8v^2-126v-8\cdot \frac{v^2}{64}=0.$

Упростим:

$8v^2-126v-\frac{8v^2}{64}=0.$

$8v^2-126v-\frac{v^2}{8}=0.$

Умножим всё на 8, чтобы избавиться от дроби:

$64v^2-1008v-v^2=0.$

$63v^2-1008v=0.$

Вынесем $v$ за скобки:

$v(63v-1008)=0.$

Решения:

$v=0\text{(не подходит, так как скорость не может быть равна 0)};$

$63v-1008=0.$

$v=\frac{1008}{63}=16\text{км/ч}.$

Найдём $u$:

$u=\frac{v}{8}=\frac{16}{8}=2\text{км/ч}.$

Ответ:

Собственная скорость моторной лодки: $16\text{км/ч}$.
Скорость течения: $2\text{км/ч}$.