На доске были написаны все натуральные числа от 1 до 1000 включительно. Сначала с доски стёрли все числа,...

Останется на доске чисел, не делящихся на 3 и на 5 одновременно. Такие числа - это числа, которые не делятся ни на 3, ни на 5, то есть числа, которые не являются кратными ни 3, ни 5. Таких чисел осталось 267.

Для решения данной задачи нам нужно сначала выяснить, сколько чисел было стёрто в каждом из случаев, а затем вычесть их из общего количества чисел, которые были на доске изначально.

1. Числа, делящиеся на 3: Чтобы определить количество чисел от 1 до 1000, которые делятся на 3, найдем количество таких чисел. Это делается путем деления 1000 на 3, что дает нам приблизительно 333.33. Округляя вниз, получаем 333 числа.

2. Числа, делящиеся на 5: Аналогично подсчитаем количество чисел, делящихся на 5. 1000 / 5 = 200. Таким образом, 200 чисел на доске делятся на 5.

3. Числа, делящиеся и на 3, и на 5 (то есть на 15): Чтобы избежать двойного учета чисел, которые делятся и на 3, и на 5, нужно узнать, сколько чисел до 1000 делятся на 15. 1000 / 15 ≈ 66.67, округляя вниз, получим 66 чисел.

Теперь подсчитаем сколько чисел было стёрто:

• Сначала стёрли 333 числа, делящиеся на 3.
• Потом стёрли 200 чисел, делящиеся на 5, но из них 66 чисел уже были стёрты, так как делятся и на 3, и на 5. Значит, уникальных чисел, стёртых во второй раз, окажется 200 - 66 = 134.

Итак, всего было стёрто 333 + 134 = 467 чисел.

Так как изначально на доске было написано 1000 чисел, то после стирания осталось 1000 - 467 = 533 числа.

Таким образом, на доске осталось 533 числа.

Для решения данной задачи, можно воспользоваться принципом включений и исключений.

Давайте найдем количество чисел, делящихся на 3. Для этого нужно поделить 1000 на 3, получаем 333 числа.

Теперь найдем количество чисел, делящихся на 5. Для этого нужно поделить 1000 на 5, получаем 200 чисел.

Однако нам нужно учесть числа, делящиеся и на 3, и на 5 (числа, делящиеся на 15). Для этого нужно поделить 1000 на 15, получаем 66 чисел.

Теперь применим принцип включений и исключений:

Общее количество чисел, которые мы стерли (делящиеся на 3 или 5) = 333 + 200 - 66 = 467

Осталось чисел на доске = 1000 - 467 = 533

Итак, на доске осталось 533 числа.