На единичной окружности построить точку, колученную поворотом точки (1;0) на угол: a) 1) π/4; 2) -π/3; 3) -3/4π; 4) 4π/3; 5) -(5/4)π; 6) -225⁰. b) 1) π/4±2π; 2) -π/3±2π: 3) 2π/3±6π; 4) -3π/4±8π. Если не сложно, объясните пожалуйста, как вы решали эти примеры. Спасибо.
a) 1) Точка получится при повороте точки (1;0) на угол π/4 равным (cos(π/4); sin(π/4)) = (√2/2; √2/2). 2) Точка получится при повороте точки (1;0) на угол -π/3 равным (cos(-π/3); sin(-π/3)) = (1/2; -√3/2). 3) Точка получится при повороте точки (1;0) на угол -3π/4 равным (cos(-3π/4); sin(-3π/4)) = (-√2/2; -√2/2). 4) Точка получится при повороте точки (1;0) на угол 4π/3 равным (cos(4π/3); sin(4π/3)) = (-1/2; -√3/2). 5) Точка получится при повороте точки (1;0) на угол -(5/4)π равным (cos(-(5/4)π); sin(-(5/4)π)) = (-√2/2; -√2/2). 6) Точка получится при повороте точки (1;0) на угол -225⁰ равным (cos(-225⁰); sin(-225⁰)) = (-√2/2; -√2/2).
b) 1) и 2) Точки получатся при повороте на указанные углы и добавлении к ним кратных 2π. 3) и 4) Точки получатся при повороте на указанные углы и добавлении к ним кратных 2π или 4π.
Для решения этих примеров нужно использовать тригонометрические функции синуса и косинуса для нахождения координат точки после поворота на указанный угол.
Чтобы решить задачу построения точек на единичной окружности, которые получены путем поворота точки (1,0) на заданный угол, нам нужно вспомнить, как связаны координаты точек на окружности с углами поворота.
Единичная окружность – это множество всех точек на плоскости, расстояние которых до начала координат равно 1. Любая точка ( P ) на этой окружности может быть представлена как ( P(\cos(\theta), \sin(\theta)) ), где ( \theta ) – угол поворота от положительного направления оси X против часовой стрелки.
1) π/4: [ P(\cos(\pi/4), \sin(\pi/4)) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]
2) -π/3 (равносильно повороту на 2π - π/3): [ P(\cos(-\pi/3), \sin(-\pi/3)) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
3) -3/4π (равносильно повороту на 2π - 3π/4): [ P(\cos(-3\pi/4), \sin(-3\pi/4)) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]
4) 4π/3: [ P(\cos(4\pi/3), \sin(4\pi/3)) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
5) -(5/4)π (равносильно повороту на 2π - 5π/4): [ P(\cos(-5\pi/4), \sin(-5\pi/4)) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]
6) -225° (равносильно -225° + 360° = 135° или 3π/4): [ P(\cos(3\pi/4), \sin(3\pi/4)) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]
1) π/4 ± 2π: [ P(\cos(\pi/4), \sin(\pi/4)) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ] То же значение, так как косинус и синус периодичны с периодом 2π.
2) -π/3 ± 2π: [ P(\cos(-\pi/3), \sin(-\pi/3)) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
3) 2π/3 ± 6π: [ P(\cos(2\pi/3), \sin(2\pi/3)) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
4) -3π/4 ± 8π: [ P(\cos(-3\pi/4), \sin(-3π/4)) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]
В каждом случае поворот на ±2πk не меняет положение точки, так как это эквивалентно выполнению полных оборотов вокруг окружности, возвращаясь в исходное положение.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой поворота точки на плоскости относительно начала координат. Для поворота точки (1;0) на угол θ вокруг начала координат получаем новые координаты (x', y'):
x' = cos(θ)x - sin(θ)y y' = sin(θ)x + cos(θ)y
Для угла в радианах: a) 1) π/4: x' = cos(π/4)1 - sin(π/4)0 = √2/2 y' = sin(π/4)1 + cos(π/4)0 = √2/2 Точка получается ( √2/2; √2/2)
2) -π/3: x' = cos(-π/3)1 - sin(-π/3)0 = 1/2 y' = sin(-π/3)1 + cos(-π/3)0 = -√3/2 Точка получается (1/2; -√3/2)
3) -3π/4: x' = cos(-3π/4)1 - sin(-3π/4)0 = -√2/2 y' = sin(-3π/4)1 + cos(-3π/4)0 = -√2/2 Точка получается (-√2/2; -√2/2)
4) 4π/3: x' = cos(4π/3)1 - sin(4π/3)0 = -1/2 y' = sin(4π/3)1 + cos(4π/3)0 = -√3/2 Точка получается (-1/2; -√3/2)
5) -(5/4)π: x' = cos(-(5/4)π)1 - sin(-(5/4)π)0 = -√2/2 y' = sin(-(5/4)π)1 + cos(-(5/4)π)0 = -√2/2 Точка получается (-√2/2; -√2/2)
6) -225⁰ = -5π/4: x' = cos(-5π/4)1 - sin(-5π/4)0 = -√2/2 y' = sin(-5π/4)1 + cos(-5π/4)0 = -√2/2 Точка получается (-√2/2; -√2/2)
b) В случае, если нужно найти точку для угла θ ± 2π, ±4π и т.д., координаты точки остаются такими же, поскольку периодичность функций синуса и косинуса равна 2π. Таким образом, для углов вида θ ± 2π, координаты точки останутся такими же, как и при повороте на угол θ.
Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как решать подобные задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать. Спасибо.
