На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист проходил круг на 5 минут медленнее второго...

Пусть время, за которое первый велосипедист проходит один круг, равно ( t ) минут. Тогда второй велосипедист проходит один круг за ( t - 5 ) минут.

Поскольку первый велосипедист через час отстал от второго на целый круг, то за это время второй велосипедист прошел на один круг больше. Таким образом, мы можем составить уравнение:

( 60 = t + (t - 5) )

( 60 = 2t - 5 )

( 2t = 65 )

( t = 32.5 )

Итак, второй велосипедист проходит один круг за 32.5 минут.

Пусть время, за которое второй велосипедист проходит один круг, равно х минут. Тогда первый велосипедист проходит один круг за (х + 5) минут.

Так как первый велосипедист отстает на целый круг через час, то за час они пройдут одинаковое количество кругов. Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:

1 час (1/х) = 1 час (1/(x + 5))

Упростим уравнение:

1/х = 1/(x + 5)

Умножим обе части уравнения на x(x + 5):

x(x + 5)/x = x(x + 5)/(x + 5)

Получаем:

x + 5 = x

5 = 0

Получили противоречие. Значит, решение данной задачи невозможно.

Рассмотрим задачу более детально.

Пусть ( t ) — время, за которое второй велосипедист проходит один круг (в минутах). Тогда первый велосипедист проходит круг за ( t + 5 ) минут.

Через 60 минут второй велосипедист проходит: [ \frac{60}{t} ] кругов.

Первый велосипедист за это же время проходит: [ \frac{60}{t + 5} ] кругов.

По условию задачи, первый велосипедист отстал от второго на один круг. То есть разница в пройденных кругах за 60 минут равна одному кругу: [ \frac{60}{t} - \frac{60}{t + 5} = 1. ]

Решим это уравнение. Приведем обе части уравнения к общему знаменателю: [ \frac{60(t + 5) - 60t}{t(t + 5)} = 1. ]

Упростим числитель: [ \frac{60t + 300 - 60t}{t(t + 5)} = 1. ] [ \frac{300}{t(t + 5)} = 1. ]

Теперь умножим обе части уравнения на ( t(t + 5) ): [ 300 = t(t + 5). ]

Получим квадратное уравнение: [ t^2 + 5t - 300 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ): [ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225. ]

Корень из дискриминанта: [ \sqrt{1225} = 35. ]

Теперь найдем корни уравнения: [ t = \frac{-5 \pm 35}{2}. ]

Получаем два значения: [ t = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15, ] [ t = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20. ]

Поскольку время не может быть отрицательным, мы отбрасываем ( t = -20 ).

Следовательно, время, за которое второй велосипедист проходит один круг, равно: [ t = 15 \text{ минут}. ]