Найдите: а) f ' (x) ; б) f ' (4) , если f(x) = x^2+2/x-3

Для нахождения производной функции f(x) = x^2 + 2 / (x - 3) воспользуемся правилами дифференцирования.

а) Найдем производную функции f'(x): f(x) = x^2 + 2 / (x - 3)

f'(x) = (2x - 0) + ((x - 3) * 0 - 2) / (x - 3)^2 f'(x) = 2x - 2 / (x - 3)^2

б) Для нахождения значения производной в точке х = 4, подставим значение х = 4 в найденное выражение для производной: f'(4) = 2 * 4 - 2 / (4 - 3)^2 f'(4) = 8 - 2 / 1 f'(4) = 6

Таким образом, ответ на задачу: а) f'(x) = 2x - 2 / (x - 3)^2 б) f'(4) = 6

а) f'(x) = (2x(x-3) - 2(x^2 + 2)) / (x - 3)^2 б) f'(4) = (2 4 (4 - 3) - 2(4^2 + 2)) / (4 - 3)^2 = (-6) / 1 = -6

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 3} ), сначала используем правило дифференцирования частного. Если у нас есть функция в виде дроби (\frac{u(x)}{v(x)}), то её производная находится по формуле:

[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} ]

Где ( u(x) = x^2 + 2 ) и ( v(x) = x - 3 ).

1. Найдём производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2x ]

[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x - 3) = 1 ]

1. Подставим эти значения в формулу производной частного:

[ f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 2)(1)}{(x - 3)^2} ]

1. Упростим числитель:

[ (2x)(x - 3) = 2x^2 - 6x ]

[ (x^2 + 2)(1) = x^2 + 2 ]

Подставляем обратно:

[ f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 2}{(x - 3)^2} ]

[ = \frac{x^2 - 6x - 2}{(x - 3)^2} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) ) равна:

[ f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 2}{(x - 3)^2} ]

Теперь вычислим ( f'(4) ):

1. Подставим ( x = 4 ) в производную:

[ f'(4) = \frac{4^2 - 6 \cdot 4 - 2}{(4 - 3)^2} ]

1. Вычислим значения в числителе и знаменателе:

[ 4^2 = 16, \quad 6 \cdot 4 = 24 ]

[ f'(4) = \frac{16 - 24 - 2}{1^2} ]

[ = \frac{16 - 24 - 2}{1} ]

[ = \frac{-10}{1} = -10 ]

Таким образом, ( f'(4) = -10 ).

Итак, результаты: а) ( f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 2}{(x - 3)^2} ) б) ( f'(4) = -10 )