Найдите cos2B, если ctgB = -4/3 и B принадлежит (3п/2; 2п)

Для начала найдем значение синуса и косинуса угла B. Известно, что ctgB = -4/3. Так как ctgB = 1/tgB, то tgB = -3/4. Зная tgB = sinB/cosB, получаем sinB = -3, cosB = -4.

Теперь найдем cos2B, используя формулу двойного угла: cos2B = cos^2B - sin^2B = (-4)^2 - (-3)^2 = 16 - 9 = 7.

Итак, cos2B = 7.

Чтобы найти ( \cos 2B ), если (\cot B = -\frac{4}{3}) и ( B ) принадлежит интервалу ((\frac{3\pi}{2}; 2\pi)), следуем следующим шагам.

1. Определение четверти: Поскольку ( B ) находится в четвертом квадранте (между (\frac{3\pi}{2}) и (2\pi)), мы знаем, что в этом интервале косинус положителен, а синус отрицателен.

2. Использование основного тригонометрического тождества: [ \cot B = \frac{\cos B}{\sin B} ] Дано, что (\cot B = -\frac{4}{3}), значит: [ \frac{\cos B}{\sin B} = -\frac{4}{3} ] Отсюда: [ \cos B = -\frac{4}{3} \sin B ]

3. Использование основного тригонометрического тождества: [ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 ] Подставим (\cos B = -\frac{4}{3} \sin B) в это тождество: [ \sin^2 B + \left(-\frac{4}{3} \sin B\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 B + \frac{16}{9} \sin^2 B = 1 ] [ \sin^2 B \left(1 + \frac{16}{9}\right) = 1 ] [ \sin^2 B \cdot \frac{25}{9} = 1 ] [ \sin^2 B = \frac{9}{25} ] [ \sin B = -\frac{3}{5} ] Здесь мы берем отрицательное значение, так как синус в четвертом квадранте отрицателен.

4. Найдем (\cos B): [ \cos B = -\frac{4}{3} \sin B = -\frac{4}{3} \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5} ]

5. Используем формулу для двойного угла: [ \cos 2B = \cos^2 B - \sin^2 B ] Подставим найденные значения (\cos B) и (\sin B): [ \cos 2B = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 ] [ \cos 2B = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} ] [ \cos 2B = \frac{7}{25} ]

Итак, (\cos 2B = \frac{7}{25}).

cos2B = cos^2B - sin^2B = (1 + ctg^2B) - (1 + ctg^2B)^-1 = (-3/4)^2 - 1 = 9/16 - 1 = -7/16.