Найдите декартовы координаты заданной точки: М(11п/4) М(-41п/6) М(117п)

Для начала стоит отметить, что точки, заданные в полярных координатах, имеют вид (M(r, \theta)), где (r) — радиус-вектор (расстояние от начала координат до точки), а (\theta) — угол (в радианах или градусах), измеряемый от положительного направления оси (x).

В данном случае, если точки заданы только углами (в радианах), (r) принимаем равным 1. То есть, (r = 1).

Преобразование полярных координат в декартовы

Формулы для преобразования полярных координат ((r, \theta)) в декартовы координаты ((x, y)) следующие: [ x = r \cos(\theta) ] [ y = r \sin(\theta) ]

Точка (M(11\pi/4))

Угол (11\pi/4) превышает (2\pi). Для упрощения можно найти эквивалентный угол в пределах от (0) до (2\pi): [ 11\pi/4 = 2\pi + 3\pi/4 ] Таким образом, (11\pi/4) эквивалентен (3\pi/4).

Теперь найдём декартовы координаты: [ x = \cos(3\pi/4) = \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ] [ y = \sin(3\pi/4) = \sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, декартовы координаты точки (M(11\pi/4)) равны: [ M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]

Точка (M(-41\pi/6))

Угол (-41\pi/6) также превышает (2\pi). Для упрощения найдём эквивалентный положительный угол: [ -41\pi/6 + 14\pi = -41\pi/6 + \frac{84\pi}{6} = \frac{43\pi}{6} ] [ \frac{43\pi}{6} - 7\pi = \frac{43\pi}{6} - \frac{42\pi}{6} = \frac{\pi}{6} ]

Теперь найдём декартовы координаты: [ x = \cos(\pi/6) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ y = \sin(\pi/6) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ]

Таким образом, декартовы координаты точки (M(-41\pi/6)) равны: [ M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) ]

Точка (M(117\pi))

Угол (117\pi) также превышает (2\pi). Найдём эквивалентный угол в пределах от (0) до (2\pi): [ 117\pi = 58\cdot 2\pi + \pi = \pi ]

Теперь найдём декартовы координаты: [ x = \cos(\pi) = \cos(180^\circ) = -1 ] [ y = \sin(\pi) = \sin(180^\circ) = 0 ]

Таким образом, декартовы координаты точки (M(117\pi)) равны: [ M(-1, 0) ]

Итоговые координаты:

1. (M(11\pi/4) \rightarrow \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right))
2. (M(-41\pi/6) \rightarrow \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right))
3. (M(117\pi) \rightarrow (-1, 0))

Для нахождения декартовых координат заданной точки необходимо использовать тригонометрические соотношения.

1. Точка М(11π/4): Для нахождения декартовых координат данной точки необходимо преобразовать угол в радианах в удобный вид. Так как 11π/4 равно 2π + 3π/4, то угол находится во втором квадранте. Таким образом, координаты точки М равны (-√2/2, √2/2).

2. Точка М(-41π/6): Аналогично предыдущему случаю, переводим угол в удобный вид. -41π/6 равно -6π - (π/6), что находится в третьем квадранте. Следовательно, координаты точки М равны (√3/2, -1/2).

3. Точка М(117π): Угол 117π равен 39π, что находится на оси абсцисс. Следовательно, координаты точки М равны (39, 0).

Таким образом, декартовы координаты заданных точек равны:

1. М(11π/4): (-√2/2, √2/2)
2. М(-41π/6): (√3/2, -1/2)
3. М(117π): (39, 0)