Найдите два числа если удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности,а утроенная сумма этих чисел...

Пусть два числа будут ( x ) и ( y ). Тогда удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности можно записать в виде уравнения:

( 2(x+y) = (x-y) + 5 )

Раскроем скобки:

( 2x + 2y = x - y + 5 )

Утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности можно записать в виде уравнения:

( 3(x+y) = (x-y) + 8 )

Раскроем скобки:

( 3x + 3y = x - y + 8 )

Теперь у нас есть система уравнений:

[ \begin{cases} 2x + 2y = x - y + 5 \ 3x + 3y = x - y + 8 \end{cases} ]

Решим эту систему уравнений. Выразим ( y ) из первого уравнения:

( 2x + 2y = x - y + 5 )

( 2x + 2y = x - y + 5 )

( x + 3y = 5 )

( 3y = 5 - x )

( y = \frac{5 - x}{3} )

Теперь подставим это значение ( y ) во второе уравнение:

( 3x + 3\left(\frac{5 - x}{3}\right) = x - \left(\frac{5 - x}{3}\right) + 8 )

( 3x + 5 - x = x - \frac{5 - x}{3} + 8 )

( 2x + 5 = x - \frac{5 - x}{3} + 8 )

( 2x + 5 = x + \frac{x}{3} - \frac{5}{3} + 8 )

( 2x + 5 = x + \frac{4x - 5}{3} )

( 6x + 15 = 3x + 4x - 5 )

( 6x + 15 = 7x - 5 )

( 6x - 7x = -5 - 15 )

( -x = -20 )

( x = 20 )

Теперь найдем значение ( y ) подставив ( x = 20 ) в уравнение ( y = \frac{5 - x}{3} ):

( y = \frac{5 - 20}{3} )

( y = \frac{-15}{3} )

( y = -5 )

Итак, два числа равны 20 и -5.

Рассмотрим задачу с алгебраической точки зрения. Обозначим два неизвестных числа как ( x ) и ( y ).

Условие 1:

Удвоенная сумма этих чисел на 5 больше их разности. Это можно записать как уравнение:

[ 2(x + y) = (x - y) + 5 ]

Условие 2:

Утроенная сумма этих чисел на 8 больше их разности. Это можно записать как уравнение:

[ 3(x + y) = (x - y) + 8 ]

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

1. ( 2(x + y) = x - y + 5 )
2. ( 3(x + y) = x - y + 8 )

Решим эту систему уравнений поэтапно.

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение

Разделим оба уравнения на множители и выделим общие части:

[ 2x + 2y = x - y + 5 ]

Перенесем все члены, содержащие переменные, в одну сторону уравнения:

[ 2x + 2y - x + y = 5 ]

Упростим:

[ x + 3y = 5 \quad \text{(1)} ]

Шаг 2: Преобразуем второе уравнение

Аналогично преобразуем второе уравнение:

[ 3x + 3y = x - y + 8 ]

Перенесем все члены, содержащие переменные, в одну сторону уравнения:

[ 3x + 3y - x + y = 8 ]

Упростим:

[ 2x + 4y = 8 ]

Шаг 3: Упростим второе уравнение

Разделим всё уравнение на 2:

[ x + 2y = 4 \quad \text{(2)} ]

Теперь у нас есть упрощенная система линейных уравнений:

1. ( x + 3y = 5 )
2. ( x + 2y = 4 )

Шаг 4: Решим систему уравнений

Вычтем второе уравнение из первого:

[ (x + 3y) - (x + 2y) = 5 - 4 ]

Упростим:

[ x + 3y - x - 2y = 1 ]

[ y = 1 ]

Теперь подставим найденное значение ( y ) в одно из уравнений, например, во второе:

[ x + 2(1) = 4 ]

[ x + 2 = 4 ]

[ x = 2 ]

Ответ:

Итак, два искомых числа — это ( x = 2 ) и ( y = 1 ).

Проверка:

Подставим ( x = 2 ) и ( y = 1 ) в исходные условия задачи:

1. Условие 1: ( 2(x + y) = (x - y) + 5 ) [ 2(2 + 1) = (2 - 1) + 5 ] [ 6 = 1 + 5 ] [ 6 = 6 ] (условие выполняется)

2. Условие 2: ( 3(x + y) = (x - y) + 8 ) [ 3(2 + 1) = (2 - 1) + 8 ] [ 9 = 1 + 8 ] [ 9 = 9 ] (условие выполняется)

Таким образом, найденные числа ( 2 ) и ( 1 ) действительно удовлетворяют условиям задачи.