Найдите функцию обратную функции у=√x+2 . постройте график данной функции и график обратной к данной...

Для того чтобы найти функцию обратную функции у=√x+2, нужно сначала выразить x через y. Для этого начнем с у=√x+2: у-2=√x (у-2)²=x x=(у-2)²

Теперь найдем обратную функцию, выражая y через x: y=(x-2)²

Теперь построим графики функции и ее обратной:

• График функции у=√x+2 будет представлять собой полуокружность, смещенную вверх на 2 единицы относительно начала координат.
• График обратной функции y=(x-2)² будет представлять собой параболу, смещенную вправо на 2 единицы относительно начала координат.

Областью определения обеих функций будет множество всех действительных чисел, так как корень из любого числа и возведение в квадрат любого числа возможно для всех действительных чисел.

Множеством значений функции у=√x+2 будет множество всех действительных чисел больше или равно 2, так как корень числа всегда неотрицателен. Множеством значений обратной функции y=(x-2)² будет множество всех действительных чисел больше или равно 0, так как возведение в квадрат числа всегда неотрицательно.

Для начала давайте уточним исходную функцию, которая задана как ( y = \sqrt{x + 2} ). Она определена при ( x \geq -2 ), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Область определения (домен) этой функции: ( D = [-2, \infty) ). Область значений (ранг) функции ( y = \sqrt{x + 2} ) — это все неотрицательные числа, так как квадратный корень не может принимать отрицательные значения. То есть ранг: ( R = [0, \infty) ).

Чтобы найти обратную функцию, обозначим исходную функцию как ( y = \sqrt{x + 2} ) и решим относительно ( x ): [ y = \sqrt{x + 2} ] [ y^2 = x + 2 ] [ x = y^2 - 2 ]

Теперь поменяем местами ( x ) и ( y ), чтобы получить обратную функцию: [ y = x^2 - 2 ] Эта функция будет обратной к исходной функции ( y = \sqrt{x + 2} ).

Область определения обратной функции ( y = x^2 - 2 ) — все действительные числа (( D = (-\infty, \infty) )), так как квадрат числа определён для любого ( x ). Область значений этой функции начинается с -2 и продолжается до бесконечности (( R = [-2, \infty) )), так как наименьшее значение ( x^2 ) равно 0, и отнимая 2, мы получаем -2.

Графики функций:

1. График функции ( y = \sqrt{x + 2} ) начинается с точки (-2, 0) и продолжается в правую сторону, постепенно возрастая.
2. График обратной функции ( y = x^2 - 2 ) является параболой с вершиной в точке (0, -2) и ветвями, направленными вверх.

Для построения графиков можно воспользоваться графическим калькулятором или программными средствами типа Desmos, GeoGebra и др.

В заключение, мы можем видеть, что домен и ранг каждой функции становятся рангом и доменом друг друга соответственно, что характерно для обратных функций.