Найдите f'(x) и f'(x0) если: а) f(x)=-5x^4+4x^3+6x^2+2x+3, x0=1; б) f(x)=x tg x, x0=П/4
Найдите f'(x) и f'(x0) если: а) f(x)=-5x^4+4x^3+6x^2+2x+3, x0=1; б) f(x)=x tg x, x0=П/4
а) Для функции f(x)=-5x^4+4x^3+6x^2+2x+3 найдем производную f'(x): f'(x) = -20x^3 + 12x^2 + 12x + 2.
Теперь найдем значение производной в точке x0=1: f'(1) = -201^3 + 121^2 + 12*1 + 2 f'(1) = -20 + 12 + 12 + 2 f'(1) = 6.
б) Для функции f(x)=x tg x найдем производную f'(x) с помощью правила производной произведения функций: f'(x) = 1tg(x) + x(sec(x))^2.
Теперь найдем значение производной в точке x0=П/4: f'(П/4) = 1tg(П/4) + (П/4)(sec(П/4))^2 f'(П/4) = 11 + (П/4)(2)^2 f'(П/4) = 1 + (П/4)*4 f'(П/4) = 1 + П f'(П/4) = 1 + П.
Чтобы найти производные функций ( f(x) ) в указанных точках ( x_0 ), мы сначала найдем общую производную ( f'(x) ), а затем подставим ( x_0 ) в полученное выражение.
Для нахождения производной многочлена мы применяем правило дифференцирования мономов: если ( f(x) = ax^n ), то ( f'(x) = anx^{n-1} ).
Теперь складываем все производные: [ f'(x) = -20x^3 + 12x^2 + 12x + 2 ]
Теперь найдем ( f'(x_0) ) при ( x_0 = 1 ): [ f'(1) = -20(1)^3 + 12(1)^2 + 12(1) + 2 = -20 + 12 + 12 + 2 = 6 ]
Для нахождения производной произведения функций применяем правило произведения: если ( f(x) = u(x)v(x) ), то ( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ).
Здесь ( u(x) = x ) и ( v(x) = \tan x ).
По правилу произведения: [ f'(x) = 1 \cdot \tan x + x \cdot \sec^2 x = \tan x + x \sec^2 x ]
Теперь найдем ( f'(x_0) ) при ( x_0 = \frac{\pi}{4} ): [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) ]
Зная, что (\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1) и (\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}), получаем: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\pi}{4} \cdot 2 = 1 + \frac{\pi}{2} ]
Таким образом:
