Найдите корень уравнения:cos πx/6=√3/2. в ответе запишите наибольший отриц корень даю 20 баллов

Рассмотрим уравнение (\cos \frac{\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}). Для того чтобы найти его корни, сначала вспомним значения косинуса для углов, при которых он равен (\frac{\sqrt{3}}{2}).

Косинус равен (\frac{\sqrt{3}}{2}) при углах (\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi) и (\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi), где (k) — целое число, так как косинус — периодическая функция с периодом (2\pi).

Теперь решим уравнение (\cos \frac{\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}):

1. Пусть (\frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi). Тогда: [ \frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ] Умножая обе части на 6, получаем: [ \pi x = \pi + 12k\pi ] Делим обе части на (\pi): [ x = 1 + 12k ]

2. Пусть (\frac{\pi x}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi). Тогда: [ \frac{\pi x}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi ] Умножая обе части на 6, получаем: [ \pi x = -\pi + 12k\pi ] Делим обе части на (\pi): [ x = -1 + 12k ]

Таким образом, у нас есть два семейства решений: [ x = 1 + 12k \quad \text{и} \quad x = -1 + 12k, \quad \text{где} \; k \; \text{— целое число}. ]

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим каждое семейство отдельно:

1. Для (x = 1 + 12k), пусть (x) отрицательно: [ 1 + 12k < 0 \implies 12k < -1 \implies k < -\frac{1}{12} ] Наибольшее целое (k), удовлетворяющее этому неравенству, — (k = -1). Подставляем (k = -1): [ x = 1 + 12(-1) = 1 - 12 = -11 ]

2. Для (x = -1 + 12k), пусть (x) отрицательно: [ -1 + 12k < 0 \implies 12k < 1 \implies k < \frac{1}{12} ] Наибольшее целое (k), удовлетворяющее этому неравенству, — (k = 0). Подставляем (k = 0): [ x = -1 + 12(0) = -1 ]

Сравнивая два найденных значения (-11) и (-1), наибольший отрицательный корень — это (-1).

Ответ: (-1).

Для того чтобы найти корень уравнения cos(πx/6) = √3/2, нужно использовать знания о значении косинуса на специальных углах.

Мы знаем, что cos(π/6) = √3/2. Таким образом, уравнение принимает вид cos(πx/6) = cos(π/6).

Используя тригонометрическую формулу cos(a) = cos(b), мы можем записать: πx/6 = π/6 + 2πk, где k - целое число.

Далее решаем уравнение относительно x: x = 1 + 12k.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения cos(πx/6) = √3/2 равен -11.

Ответ: -11.