Найдите корни уравнений x^2/x+6=1/2

Рассмотрим уравнение:

[ \frac{x^2}{x+6} = \frac{1}{2} ]

Чтобы решить это уравнение, начнем с того, что уберем знаменатели, умножив обе части уравнения на (2(x + 6)), чтобы избежать деления на ноль и упростить выражение. Получим:

[ 2x^2 = (x + 6) ]

Теперь упростим это уравнение:

[ 2x^2 = x + 6 ]

Перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить квадратное уравнение:

[ 2x^2 - x - 6 = 0 ]

Теперь применим метод дискриминанта для решения этого квадратного уравнения. Формула дискриминанта (D) для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) заключается в следующем:

[ D = b^2 - 4ac ]

Для нашего уравнения (a = 2), (b = -1), (c = -6). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) ]

[ D = 1 + 48 = 49 ]

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим найденные значения:

[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} ]

[ x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{4} ]

Теперь найдем оба корня:

1. (x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2)
2. (x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2})

Итак, корни уравнения (\frac{x^2}{x+6} = \frac{1}{2}) равны (x = 2) и (x = -\frac{3}{2}).

Важно также проверить, не приводят ли найденные значения к делению на ноль в исходном уравнении. Подставив (x = 2) и (x = -\frac{3}{2}) в знаменатель (x + 6), убедимся, что ни одно из значений не обращает знаменатель в ноль. Таким образом, оба корня являются допустимыми решениями.

Для начала преобразуем уравнение x^2/x + 6 = 1/2. Упростим левую часть уравнения, разделив x^2 на x, получим x + 6 = 1/2. Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 2: 2x + 12 = 1. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: 2x = 1 - 12, 2x = -11. И окончательно найдем значение x, разделив обе части на 2: x = -11/2. Таким образом, корень уравнения x^2/x + 6 = 1/2 равен -11/2.