Найдите наибольшее целое значение х, при котором выражение (5х^2+80)/(х^2-9х+8) отрицательно

Для того чтобы найти наибольшее целое значение х, при котором выражение (5х^2+80)/(х^2-9х+8) отрицательно, нужно понять, когда числитель и знаменатель этого выражения имеют разные знаки.

Сначала рассмотрим числитель: 5х^2 + 80. Это квадратное уравнение, а значит, его знак будет зависеть от значения х. Поскольку у коэффициента при х^2 положительный (5), это означает, что график параболы будет направлен вверх, и значит, числитель положителен при всех значениях х.

Теперь рассмотрим знаменатель: х^2 - 9х + 8. Это также квадратное уравнение, и чтобы определить его знак, нужно найти корни уравнения (точки, где он обращается в нуль) и провести анализ знаков между ними. Получаем корни х = 1 и х = 8. Поскольку у коэффициента при х^2 положительный (1), это означает, что график параболы будет направлен вверх, и значит, знаменатель положителен в интервалах (-∞, 1) и (8, +∞), а отрицателен в интервале (1, 8).

Таким образом, чтобы выражение (5х^2+80)/(х^2-9х+8) было отрицательно, необходимо, чтобы числитель был положительным, а знаменатель отрицательным. Это происходит в интервале (1, 8).

Следовательно, наибольшее целое значение х, при котором выражение отрицательно, будет 7 (так как 8 не включается в интервал).

Чтобы найти наибольшее целое значение ( x ), при котором выражение

[ \frac{5x^2 + 80}{x^2 - 9x + 8} ]

отрицательно, необходимо определить, при каких значениях ( x ) числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Шаг 1: Анализ знаменателя

Знаменатель ( x^2 - 9x + 8 ) нужно разложить на множители. Решим квадратное уравнение:

[ x^2 - 9x + 8 = 0 ]

Решение квадратного уравнения:

Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 ).

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2} ]

[ x_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1 ]

Таким образом, знаменатель разлагается на:

[ x^2 - 9x + 8 = (x - 8)(x - 1) ]

Шаг 2: Анализ числителя

Числитель ( 5x^2 + 80 ) всегда положителен для всех ( x ), поскольку это квадратичная функция с положительным коэффициентом при ( x^2 ) и свободным членом 80. Проверим, когда числитель равен нулю:

[ 5x^2 + 80 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 = -80 ]

Это уравнение не имеет действительных решений, следовательно, числитель никогда не обращается в ноль и всегда положителен.

Шаг 3: Определение знаков

Для того чтобы выражение было отрицательным, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Это происходит, когда:

1. Знаменатель отрицателен: ((x - 8)(x - 1) < 0).

Рассмотрим неравенство:

[ (x - 8)(x - 1) < 0 ]

Найдём интервалы, где это неравенство выполняется.

Критические точки: ( x = 1 ) и ( x = 8 ).

Знаки выражения между критическими точками:

• ( x < 1 ): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
• ( 1 < x < 8 ): множители имеют разные знаки, произведение отрицательно.
• ( x > 8 ): оба множителя положительны, произведение положительно.

Следовательно, ((x - 8)(x - 1) < 0) в интервале ( 1 < x < 8 ).

Шаг 4: Наибольшее целое значение

Наибольшее целое значение ( x ) в интервале ( 1 < x < 8 ) равно 7.

Таким образом, наибольшее целое значение ( x ), при котором выражение отрицательно, равно 7.