Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=2х^3+3х^2-12х-1 на отрезке [-1;2]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1) на отрезке ([-1; 2]), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Найдем первую производную функции (y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1): [ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x - 1) = 6x^2 + 6x - 12 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение (y' = 0): [ 6x^2 + 6x - 12 = 0 ] Разделим уравнение на 6: [ x^2 + x - 2 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad \text{где } a = 1, b = 1, c = -2 ] [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -2 ]

3. Определить допустимые критические точки: Так как мы рассматриваем функцию на отрезке ([-1; 2]), нужно проверить, какие из найденных критических точек принадлежат этому отрезку. Из двух найденных корней (x_1 = 1) принадлежит отрезку, а (x_2 = -2) не принадлежит.

4. Найти значения функции в критической точке и на границах отрезка: Подставим в функцию значения (x = -1), (x = 1) и (x = 2): [ y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12 ] [ y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8 ] [ y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3 ]

5. Определить наибольшее и наименьшее значения: Из полученных значений: [ y(-1) = 12, \quad y(1) = -8, \quad y(2) = 3 ] Наименьшее значение функции на отрезке ([-1; 2]) равно (-8) (при (x = 1)), а наибольшее значение равно (12) (при (x = -1)).

Таким образом, наибольшее значение функции (y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1) на отрезке ([-1; 2]) равно (12), а наименьшее значение равно (-8).

Наибольшее значение функции равно 7 при x = 2, наименьшее значение функции равно -15 при x = -1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=2x^3+3x^2-12x-1 на отрезке [-1;2] необходимо проанализировать поведение функции на данном отрезке.

1. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю: y' = 6x^2 + 6x - 12 = 0 Получим квадратное уравнение, решив которое, найдем значения x для экстремумов.

2. Найдем значения функции в найденных точках и на концах отрезка [-1;2]: Для этого подставим значения x в функцию y=2x^3+3x^2-12x-1 и найдем соответствующие значения y.

3. Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;2].

Таким образом, проведя вышеописанные шаги, можно найти наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^3+3x^2-12x-1 на отрезке [-1;2].