Найдите наибольшее значение функции у=-х^2+6х-4.

Для нахождения наибольшего значения квадратичной функции ( y = -x^2 + 6x - 4 ), начнем с определения ее вершины. Формула квадратичной функции в общем виде выглядит так: ( y = ax^2 + bx + c ). В данном случае ( a = -1 ), ( b = 6 ), и ( c = -4 ).

Координата ( x ) вершины параболы для функции ( y = ax^2 + bx + c ) вычисляется по формуле: [ x = -\frac{b}{2a} ] Подставляя значения: [ x = -\frac{6}{2 \times -1} = 3 ] Теперь подставим ( x = 3 ) в исходную функцию для нахождения ( y ): [ y = -(3)^2 + 6 \times 3 - 4 = -9 + 18 - 4 = 5 ] Таким образом, наибольшее значение функции ( y = -x^2 + 6x - 4 ) равно 5 и достигается оно при ( x = 3 ).

Этот результат можно также подтвердить через анализ дискриминанта и ветвей параболы. Поскольку коэффициент ( a ) отрицателен (( a = -1 )), парабола направлена ветвями вниз, и поэтому вершина является точкой максимума.

Также можно удостовериться в этом, рассмотрев вторую производную функции ( y = -x^2 + 6x - 4 ). Вторая производная: [ y'' = -2 ] Поскольку вторая производная отрицательна, это подтверждает, что в точке ( x = 3 ) функция имеет максимум.

Для нахождения наибольшего значения функции у=-х^2+6х-4, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата. Сначала перепишем функцию в виде полного квадрата:

у=-(х^2-6х+9)+9-4 у=-(х-3)^2+5

Теперь мы видим, что у достигает наибольшего значения 5 при х=3. Таким образом, наибольшее значение функции у=-х^2+6х-4 равно 5.