Найдите наибольшее значение функции y = 2cosx - 18/П * (x+4) в промежутке [-2П/3;0]

Для нахождения наибольшего значения функции в указанном промежутке необходимо найти производную функции y по x, приравнять ее к нулю и найти точки экстремума. После этого подставить найденные значения x в исходную функцию y и найти соответствующие значения y. Наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению y из найденных.

Для того чтобы найти наибольшее значение функции y = 2cosx - 18/П * (x+4) в промежутке [-2П/3;0], необходимо найти критические точки функции в данном интервале, а затем проверить их на экстремумы.

1. Найдем производную данной функции: y' = -2sinx - 18/П

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: -2sinx - 18/П = 0 sinx = -9/П x = arcsin(-9/П) ≈ -1.566

3. Проверим найденную точку на экстремум, подставив значения функции в точку и сравнивая со значениями на концах интервала: y(-2П/3) = 2cos(-2П/3) - 18/П (-2П/3 + 4) ≈ -5.39 y(0) = 2cos(0) - 18/П (0 + 4) = -8

Таким образом, наибольшее значение функции в промежутке [-2П/3;0] равно -5.39.

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = 2\cos x - \frac{18}{\pi}(x+4) ) на заданном промежутке ([-2\pi/3; 0]), следуем стандартной процедуре анализа функции:

1. Определение критических точек: Найдите производную функции ( y ) и определите критические точки, где производная равна нулю или не существует.

   Производная функции: [ y' = \frac{d}{dx} \left( 2\cos x - \frac{18}{\pi}(x+4) \right) ] [ y' = -2\sin x - \frac{18}{\pi} ]

   Найдем, где ( y' = 0 ): [ -2\sin x - \frac{18}{\pi} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = -\frac{9}{\pi} ]

   Проверим, возможно ли это. Значение (\sin x) должно быть в диапазоне от (-1) до (1). Поскольку (-\frac{9}{\pi} \approx -2.86), это значение невозможно для (\sin x). Следовательно, критических точек, где производная равна нулю, нет.

2. Анализ границ промежутка: Поскольку критических точек нет, исследуем значения функции на концах заданного промежутка.

   • При ( x = -2\pi/3 ): [ y = 2\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{18}{\pi}\left(-\frac{2\pi}{3} + 4\right) ] [ y = 2 \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{18}{\pi}\left(\frac{2\pi}{3} + 4\right) ] [ y = -1 + \frac{18}{\pi}\left(\frac{2\pi}{3} + 4\right) ]

   • При ( x = 0 ): [ y = 2\cos(0) - \frac{18}{\pi}(0 + 4) ] [ y = 2 - \frac{72}{\pi} ]

3. Сравнение значений: Теперь находим численные значения для каждого из концов:

   • Для ( x = -2\pi/3 ): [ y = -1 + \frac{18}{\pi}\left(\frac{2\pi}{3} + 4\right) = -1 + \frac{18}{\pi}\left(\frac{2\pi}{3} + 4\right) ] [ = -1 + 12 + \frac{72}{\pi} ]

   • Для ( x = 0 ): [ y = 2 - \frac{72}{\pi} ]

   Сравниваем численно:

   • При ( x = -2\pi/3 ), значение больше, чем при ( x = 0 ) из-за положительного вклада (\frac{72}{\pi}).

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке ([-2\pi/3; 0]) достигается при ( x = -2\pi/3 ).