Найдите наибольшее значение функции y= корень квадратный из (5-4x-x^2 ) с решением пожалуйста

Для нахождения наибольшего значения функции y = √(5 - 4x - x^2) необходимо найти точку экстремума. Для этого проделаем следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = -(1/2)(5 - 4x - x^2)^(-1/2) (-4 - 2x) y' = (2x + 4) / (2√(5 - 4x - x^2)) y' = (x + 2) / √(5 - 4x - x^2)

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: x + 2 = 0 x = -2

3. Подставим найденное значение x = -2 в исходную функцию: y = √(5 - 4*(-2) - (-2)^2) y = √(5 + 8 - 4) y = √9 y = 3

Таким образом, наибольшее значение функции y = √(5 - 4x - x^2) равно 3 и достигается при x = -2.

Для нахождения наибольшего значения функции ( y = \sqrt{5 - 4x - x^2} ), сначала нужно убедиться, что подкоренное выражение ( 5 - 4x - x^2 ) неотрицательно, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ): [ 5 - 4x - x^2 \geq 0 ]

   Перепишем уравнение в виде: [ -x^2 - 4x + 5 \geq 0 ] [ x^2 + 4x - 5 \leq 0 ]

   Решим квадратное уравнение ( x^2 + 4x - 5 = 0 ) через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{2} ] [ x_1 = 1, \quad x_2 = -5 ]

   Таким образом, неравенство принимает вид: [ (x - 1)(x + 5) \leq 0 ] Решение этого неравенства — интервал между корнями, включая сами корни: [ -5 \leq x \leq 1 ]

2. Нахождение наибольшего значения функции: Поскольку функция ( y = \sqrt{5 - 4x - x^2} ) определена и неотрицательна на интервале ([-5, 1]), максимальное значение подкоренного выражения даст максимальное значение функции. Подставим крайние точки интервала и проверим, какое значение больше:

   • При ( x = -5 ): [ y(-5) = \sqrt{5 - 4(-5) - (-5)^2} = \sqrt{5 + 20 - 25} = \sqrt{0} = 0 ]

   • При ( x = 1 ): [ y(1) = \sqrt{5 - 4(1) - 1^2} = \sqrt{5 - 4 - 1} = \sqrt{0} = 0 ]

   Мы видим, что в крайних точках значение функции равно 0. Теперь проверим значения функции при ( x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 ) (вершина параболы (x^2 + 4x - 5)):

   • При ( x = -2 ): [ y(-2) = \sqrt{5 - 4(-2) - (-2)^2} = \sqrt{5 + 8 - 4} = \sqrt{9} = 3 ]

3. Ответ: Наибольшее значение функции ( y = \sqrt{5 - 4x - x^2} ) равно 3 и достигается при ( x = -2 ) на заданном интервале ([-5, 1]).