Найдите наибольшее значение выражения 2ab-a^2-2b^2+4b

Для нахождения наибольшего значения данного выражения можно воспользоваться методом завершения квадрата. Преобразуем данное выражение: 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b = -(a^2 - 2ab + b^2) - b^2 + 4b = -(a - b)^2 - b^2 + 4b = -(a - b)^2 + 4b - b^2 = -(a - b)^2 + 4b - (b^2/2) - (b^2/2) = -(a - b)^2 + 4b - 2(b^2/2) - (b^2/2) = -(a - b)^2 + 4b - 2b^2/2 - b^2/2 = -(a - b)^2 + 4b - 3b^2/2 = -(a - b)^2 - 3(b^2/2) + 4b = -(a - b)^2 - 3(b^2/2) + 4(b^2/2) = -(a - b)^2 + b^2/2

Таким образом, наибольшее значение данного выражения равно b^2/2, при условии, что a = b.

Для нахождения наибольшего значения выражения, нужно исследовать его на экстремумы.

Чтобы найти наибольшее значение выражения (2ab - a^2 - 2b^2 + 4b), рассмотрим его как функцию двух переменных (a) и (b). Назовем эту функцию (f(a, b)):

[ f(a, b) = 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b ]

Для поиска наибольшего значения этой функции, начнем с нахождения её критических точек. Для этого найдем частные производные (f(a, b)) по (a) и (b) и приравняем их к нулю.

1. Найдем частную производную (f(a, b)) по (a):

[ \frac{\partial f}{\partial a} = 2b - 2a ]

1. Найдем частную производную (f(a, b)) по (b):

[ \frac{\partial f}{\partial b} = 2a - 4b + 4 ]

Теперь приравняем эти производные к нулю и решим систему уравнений:

[ \frac{\partial f}{\partial a} = 0 \Rightarrow 2b - 2a = 0 \Rightarrow b = a ]

[ \frac{\partial f}{\partial b} = 0 \Rightarrow 2a - 4b + 4 = 0 \Rightarrow 2a - 4a + 4 = 0 \Rightarrow -2a + 4 = 0 \Rightarrow a = 2 ]

Подставим значение (a) в уравнение (b = a):

[ b = 2 ]

Таким образом, мы получили критическую точку ((a, b) = (2, 2)).

Теперь подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти значение в этой точке:

[ f(2, 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2^2 - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 ]

[ f(2, 2) = 8 - 4 - 8 + 8 ]

[ f(2, 2) = 4 ]

Таким образом, мы получили, что значение функции в критической точке ((2, 2)) равно 4.

Для уверенности, что это действительно наибольшее значение, можно дополнительно проверить краевые случаи или использовать второй производный критерий (критерий Гессе), но в данном случае достаточно будет отметить, что функция (f(a, b)) является квадратичной функцией от двух переменных, и её форма (смешанные члены и знаки при квадратичных членах) позволяет сделать вывод, что найденное значение является максимумом.

Ответ: Наибольшее значение выражения (2ab - a^2 - 2b^2 + 4b) равно 4.