Найдите наименьшее значение функции у=10х-ln(x+9)^10 на отрезке [-8,5; 0]

Для того чтобы найти наименьшее значение функции у = 10x - ln(x + 9)^10 на отрезке [-8,5; 0], необходимо найти точку экстремума этой функции на данном отрезке.

Сначала найдем производную функции у по х: у' = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 10 - 10 * (x + 9)^9

Приравниваем производную к нулю и находим точку экстремума: 10 - 10 (x + 9)^9 / (x + 9) = 0 10 = 10 (x + 9)^9 / (x + 9) 1 = (x + 9)^9 1 = x + 9 x = -8

Теперь найдем значение функции у в точке x = -8: у = 10 * (-8) - ln((-8) + 9)^10 у = -80 - ln(1)^10 у = -80

Таким образом, наименьшее значение функции у = 10x - ln(x + 9)^10 на отрезке [-8,5; 0] равно -80.

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = 10x - \ln{(x+9)}^{10} ) на заданном отрезке ([-8.5; 0]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Проверка области определения функции: Функция ( y = 10x - \ln{(x+9)}^{10} ) определена, когда аргумент логарифма положителен, то есть ( (x+9) > 0 ). На отрезке ([-8.5; 0]) это условие выполняется, так как ( x + 9 ) будет в диапазоне от ( 0.5 ) до ( 9 ).

2. Упростим функцию: Заметим, что (\ln{(x+9)}^{10} = 10 \ln{(x+9)}). Тогда функция принимает вид: [ y = 10x - 10 \ln{(x+9)}. ] Можно факторизовать 10: [ y = 10(x - \ln{(x+9)}). ]

3. Найти производную функции: Для нахождения критических точек функции нужно найти её производную и приравнять её к нулю. [ y = 10(x - \ln{(x+9)}) ] Производная: [ y' = 10 \left( 1 - \frac{1}{x+9} \right) = 10 \left( \frac{x+9-1}{x+9} \right) = 10 \left( \frac{x+8}{x+9} \right). ]

4. Найти критические точки: Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: [ 10 \left( \frac{x+8}{x+9} \right) = 0. ] Это выражение равно нулю, когда числитель равен нулю: [ x + 8 = 0 \implies x = -8. ] Проверяем, что ( x = -8 ) принадлежит отрезку ([-8.5; 0]).

5. Проверка значений на концах отрезка и в критической точке: Вычислим значение функции в точках ( x = -8.5 ), ( x = -8 ) и ( x = 0 ).

   Для ( x = -8.5 ): [ y(-8.5) = 10(-8.5) - 10 \ln{(-8.5+9)} = -85 - 10 \ln{0.5}. ] Для ( x = -8 ): [ y(-8) = 10(-8) - 10 \ln{(-8+9)} = -80 - 10 \ln{1} = -80. ] Для ( x = 0 ): [ y(0) = 10(0) - 10 \ln{(0+9)} = -10 \ln{9}. ]

6. Сравнение значений: Значения функций:

   • ( y(-8.5) = -85 - 10 \ln{0.5} \approx -85 + 6.931 = -78.069 ).
   • ( y(-8) = -80 ).
   • ( y(0) = -10 \ln{9} \approx -10 \cdot 2.197 = -21.97 ).

   Наименьшее значение функции на отрезке ([-8.5; 0]) достигается в точке ( x = -8.5 ) и равно приблизительно ( -78.069 ).

Ответ: Наименьшее значение функции ( y = 10x - \ln{(x+9)}^{10} ) на отрезке ([-8.5; 0]) равно приблизительно ( -78.069 ) и достигается в точке ( x = -8.5 ).