. Найдите область определения функции:
а) ; б) ; в) .
. Найдите область определения функции:
а) ; б) ; в) .
а) Для функции f(x) = √x область определения состоит из всех действительных чисел x, таких что x ≥ 0, так как под знаком корня не может быть отрицательного числа.
б) Для функции g(x) = 1/(x-2) область определения состоит из всех действительных чисел x, кроме x = 2, так как в знаменателе не может быть нуля.
в) Для функции h(x) = √(x+3) область определения состоит из всех действительных чисел x, таких что x+3 ≥ 0, то есть x ≥ -3.
Конечно, рассмотрим задачу по нахождению области определения функций.
Для функции вида ( f(x) = \frac{1}{x} ) необходимо определить, при каких значениях ( x ) функция существует. Основное ограничение здесь связано с тем, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
Условие: [ x \neq 0 ]
Следовательно, область определения функции: [ D(f) = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 } ] или в интервалах: [ D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) ]
Для функции вида ( g(x) = \sqrt{x - 2} ) необходимо определить, при каких значениях ( x ) функция существует. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным (иначе выражение не имеет смысла в области действительных чисел), решаем неравенство:
Условие: [ x - 2 \geq 0 ] [ x \geq 2 ]
Следовательно, область определения функции: [ D(g) = { x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2 } ] или в интервалах: [ D(g) = [2, +\infty) ]
Для функции вида ( h(x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{x + 1} ) необходимо учитывать два условия:
Рассмотрим первое условие: [ 3 - x \geq 0 ] [ x \leq 3 ]
Теперь рассмотрим второе условие: [ x + 1 \neq 0 ] [ x \neq -1 ]
Следовательно, ( x ) должно удовлетворять обоим условиям одновременно: [ x \leq 3 \text{ и } x \neq -1 ]
Таким образом, область определения функции: [ D(h) = { x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3 \text{ и } x \neq -1 } ] или в интервалах: [ D(h) = (-\infty, -1) \cup (-1, 3] ]
Таким образом, мы нашли области определения для всех трех функций.
