Найдите область определения функции а) y=√5x-4x^2 (всё выражение под квадрат. корнем) б) y=√x^2+2x-80...

а) Областью определения функции y=√5x-4x^2 будет множество всех действительных чисел x, для которых выражение под корнем неотрицательно. Для этого необходимо, чтобы 5x-4x^2 ≥ 0. Решив это неравенство, получим область определения функции: x ∈ (-∞, 0] ∪ [5/4, +∞).

б) Областью определения функции y=√(x^2+2x-80)/(3x-36) будет множество всех действительных чисел x, для которых знаменатель не равен нулю и выражение под корнем неотрицательно. Знаменатель не равен нулю при x ≠ 12. Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, то есть x^2+2x-80 ≥ 0. Решив это неравенство и учитывая условие x ≠ 12, получим область определения функции: x ∈ (-∞, -10] ∪ [8, 12) ∪ (12, +∞).

Чтобы найти область определения функции, необходимо определить значения переменной ( x ), при которых все выражения в функции имеют смысл. В данном случае нужно обратить внимание на выражения под квадратными корнями (они должны быть неотрицательными) и знаменатели дробей (они не должны быть равны нулю).

a) ( y = \sqrt{5x - 4x^2} )

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

[ 5x - 4x^2 \geq 0 ]

Решим это неравенство:

1. Вынесем общий множитель ( x ):

   [ x(5 - 4x) \geq 0 ]

2. Найдем нули функции: ( x = 0 ) и ( 5 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4} ).

3. Определим знаки на промежутках, используя метод интервалов. Интервалы: ( (-\infty, 0) ), ( (0, \frac{5}{4}) ), ( (\frac{5}{4}, +\infty) ).

   • На интервале ( (-\infty, 0) ): ( x < 0 ), значит произведение отрицательно.
   • На интервале ( (0, \frac{5}{4}) ): ( x > 0 ) и ( 5 - 4x > 0 ), значит произведение положительно.
   • На интервале ( (\frac{5}{4}, +\infty) ): ( 5 - 4x < 0 ), значит произведение отрицательно.

4. Учитывая, что неравенство неплотное, включаем границы: ( x \in [0, \frac{5}{4}] ).

б) ( y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 80}}{3x - 36} )

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

   [ x^2 + 2x - 80 \geq 0 ]

   Решим квадратное неравенство:

   • Найдем корни квадратного уравнения ( x^2 + 2x - 80 = 0 ) с помощью дискриминанта:

     [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 ]

     [ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-2 \pm 18}{2} ]

     [ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-20}{2} = -10 ]

   • Определим знаки на промежутках: ( (-\infty, -10) ), ( (-10, 8) ), ( (8, +\infty) ).

     • На интервале ( (-\infty, -10) ): выражение положительно.
     • На интервале ( (-10, 8) ): выражение отрицательно.
     • На интервале ( (8, +\infty) ): выражение положительно.

   • Учитывая, что неравенство неплотное, включаем границы: ( x \in (-\infty, -10] \cup [8, +\infty) ).

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

   [ 3x - 36 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x \neq 36 \quad \Rightarrow \quad x \neq 12 ]

3. Объединим условия:

   • ( x \in (-\infty, -10] \cup [8, +\infty) ) из условия неотрицательности под корнем.
   • Исключим ( x = 12 ) из-за нуля в знаменателе.

   Следовательно, область определения функции:

   [ x \in (-\infty, -10] \cup [8, 12) \cup (12, +\infty) ]

Таким образом, области определения для обеих функций найдены.