Найдите область определения функции у=корень квадратный из 4х-9х^2 ДАЮ 50 БАЛЛОВ!

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{4x - 9x^2} ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем неотрицательно, так как квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

1. Записать неравенство: [ 4x - 9x^2 \geq 0 ]

2. Привести неравенство к стандартному виду: Сначала поменяем местами слагаемые: [ -9x^2 + 4x \geq 0 ] Умножим неравенство на (-1) (не забывая изменить знак неравенства): [ 9x^2 - 4x \leq 0 ]

3. Вынести общий множитель: [ x(9x - 4) \leq 0 ]

4. Найти корни уравнения: Для решения неравенства ( x(9x - 4) = 0 ) находим корни:

   • ( x = 0 )
   • ( 9x - 4 = 0 ) приводит к ( x = \frac{4}{9} )

5. Определить интервалы: Теперь у нас есть корни ( x = 0 ) и ( x = \frac{4}{9} ). Разделим числовую ось на интервалы:

   • ( (-\infty, 0) )
   • ( (0, \frac{4}{9}) )
   • ( (\frac{4}{9}, +\infty) )

6. Проверить знаки на интервалах: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение ( x(9x - 4) ):

   • Для интервала ( (-\infty, 0) ), например, ( x = -1 ): [ -1(9(-1) - 4) = -1(-9 - 4) = 13 > 0 \quad (\text{знак +}) ]
   • Для интервала ( (0, \frac{4}{9}) ), например, ( x = \frac{1}{9} ): [ \frac{1}{9}(9 \cdot \frac{1}{9} - 4) = \frac{1}{9}(1 - 4) = \frac{1}{9}(-3) < 0 \quad (\text{знак -}) ]
   • Для интервала ( (\frac{4}{9}, +\infty) ), например, ( x = 1 ): [ 1(9 \cdot 1 - 4) = 1(9 - 4) = 5 > 0 \quad (\text{знак +}) ]

7. Определить область определения: Мы обнаружили, что неравенство выполняется в интервале ( [0, \frac{4}{9}] ), включая сами границы, так как при ( x = 0 ) и ( x = \frac{4}{9} ) результат равен нулю, что допустимо для корня.

Таким образом, область определения функции ( y = \sqrt{4x - 9x^2} ) — это отрезок: [ \boxed{[0, \frac{4}{9}]} ]

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{4x - 9x^2} ), нужно разобраться, при каких значениях ( x ) выражение под корнем ( 4x - 9x^2 ) будет определено. Квадратный корень в математике определён только для неотрицательных чисел, то есть подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

[ 4x - 9x^2 \geq 0 ]

1. Преобразуем выражение:

Вынесем ( x ) за скобки: [ 4x - 9x^2 = x(4 - 9x) ]

Теперь условие преобразуется в: [ x(4 - 9x) \geq 0 ]

2. Найдём корни уравнения:

Равенство ( x(4 - 9x) = 0 ) выполняется, если: [ x = 0 \quad \text{или} \quad 4 - 9x = 0 ]

Решим второе уравнение: [ 4 - 9x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{9} ]

Значит, корни — это ( x = 0 ) и ( x = \frac{4}{9} ). Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: ( (-\infty, 0) ), ( (0, \frac{4}{9}) ), ( (\frac{4}{9}, +\infty) ).

3. Исследуем знак выражения:

Рассмотрим знак произведения ( x(4 - 9x) ) на каждом из промежутков:

1. На промежутке ( (-\infty, 0) ):
   Возьмём тестовую точку ( x = -1 ).
   Подставим ( x = -1 ) в ( x(4 - 9x) ): [ (-1)(4 - 9(-1)) = (-1)(4 + 9) = -13 ] Выражение отрицательное.

2. На промежутке ( (0, \frac{4}{9}) ):
   Возьмём тестовую точку ( x = \frac{1}{9} ).
   Подставим ( x = \frac{1}{9} ) в ( x(4 - 9x) ): [ \left(\frac{1}{9}\right)\left(4 - 9\left(\frac{1}{9}\right)\right) = \left(\frac{1}{9}\right)(4 - 1) = \left(\frac{1}{9}\right)(3) = \frac{1}{3} ] Выражение положительное.

3. На промежутке ( (\frac{4}{9}, +\infty) ):
   Возьмём тестовую точку ( x = 1 ).
   Подставим ( x = 1 ) в ( x(4 - 9x) ): [ (1)(4 - 9(1)) = (1)(4 - 9) = -5 ] Выражение отрицательное.

4. Учитываем границы:

На границах ( x = 0 ) и ( x = \frac{4}{9} ) выражение ( x(4 - 9x) ) равно нулю. Поскольку корень из нуля существует (( \sqrt{0} = 0 )), эти точки входят в область определения.

5. Записываем область определения:

Выражение ( 4x - 9x^2 \geq 0 ) выполняется на промежутке ( [0, \frac{4}{9}] ).

Ответ:

Область определения функции: [ x \in [0, \frac{4}{9}] ]