Найдите область определения функции y=√3x-2/x^2-x-2
Найдите область определения функции y=√3x-2/x^2-x-2
Для того чтобы найти область определения функции y = √(3x-2)/(x^2-x-2), необходимо рассмотреть значения x, при которых знаменатель функции не равен нулю, так как деление на ноль невозможно.
Для начала найдем, при каких значениях x знаменатель равен нулю: x^2 - x - 2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x = 2 или x = -1
Таким образом, область определения функции y = √(3x-2)/(x^2-x-2) будет всем множеством действительных чисел, за исключением значений x = 2 и x = -1. Итак, область определения функции y = √(3x-2)/(x^2-x-2) будет (-∞, -1) U (-1, 2) U (2, +∞).
Чтобы найти область определения функции ( y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x - 2} ), необходимо учесть ограничения, которые накладывают как числитель, так и знаменатель.
Числитель (\sqrt{3x - 2}):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Таким образом, требуется: [ 3x - 2 \geq 0 ] Решим это неравенство: [ 3x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{3} ]
Знаменатель (x^2 - x - 2):
Знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Найдём, при каких значениях (x) знаменатель обращается в ноль. Для этого решим уравнение: [ x^2 - x - 2 = 0 ] Это квадратное уравнение можно решить методом разложения на множители: [ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 ] Отсюда получаем два корня: [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1 ] Значит, (x) не может быть равным (2) или (-1).
Объединение условий:
Объединим полученные условия:
Таким образом, область определения функции (y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x - 2}) будет: [ x \in \left[\frac{2}{3}, 2\right) \cup (2, +\infty) ]
Это значит, что функция определена для всех значений (x) начиная от (\frac{2}{3}) (включая это значение) до (+\infty), за исключением точки (x = 2).
Для функции y=√(3x-2)/(x^2-x-2) областью определения будет множество всех действительных чисел x, за исключением значений, при которых знаменатель равен нулю. То есть x^2-x-2=0. Решив квадратное уравнение, получаем x=-1 и x=2. Поэтому область определения будет (-∞,-1)U(-1,2)U(2,+∞).
