Найдите область определения функции y=log2tgx

Функция y = log2(tan(x)) определена только для тех значений x, при которых аргумент тангенса отличен от нуля, и результат лежит в области определения логарифма. Так как тангенс имеет период π, то область определения функции будет зависеть от того, сколько периодов тангенса мы берем.

Область определения функции y = log2(tan(x)) можно найти, учитывая, что логарифм отрицательного числа или нуля не определен. Таким образом, область определения функции будет состоять из всех значений x, таких что tan(x) > 0.

Также, учитывая, что tan(x) = sin(x) / cos(x), область определения функции y = log2(tan(x)) можно записать как x, где sin(x) > 0 и cos(x) > 0.

Таким образом, область определения функции y = log2(tan(x)) будет зависеть от количества периодов тангенса, которые мы рассматриваем.

Чтобы найти область определения функции ( y = \log_2(\tan x) ), необходимо учесть ограничения, связанные с логарифмической функцией и тангенсом. Рассмотрим эти ограничения по отдельности:

1. Ограничение логарифмической функции:

   Логарифмическая функция ( \log_2(u) ) определена только для положительных значений аргумента ( u ). Поэтому необходимо, чтобы: [ \tan x > 0 ]

2. Ограничение на тангенс:

   Тангенс функции ( \tan x ) определён для всех значений ( x ), кроме тех, где косинус равен нулю, так как тангенс является отношением синуса к косинусу: [ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

3. Условия положительности тангенса:

   Нам нужно определить, при каких значениях ( x ) тангенс положителен. Зная, что тангенс положителен в первой и третьей четвертях тригонометрической окружности, мы получаем: [ 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad \text{(первая четверть)} ] [ \pi < x < \frac{3\pi}{2} \quad \text{(третья четверть)} ]

   Эти интервалы повторяются с периодом (\pi).

4. Объединение условий:

   Объединяя условия положительности тангенса и исключая точки, в которых тангенс не определён, получаем:

   [ x \in \bigg(0 + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\bigg) \cup \bigg(\pi + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\bigg), \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, область определения функции ( y = \log_2(\tan x) ) является объединением интервалов, где тангенс положителен и определён.