Найдите область определения выражения:(корень) x^2-8x

Для того чтобы найти область определения данного выражения, необходимо определить, при каких значениях переменной x выражение под корнем, то есть x^2 - 8x, будет неотрицательным числом.

Выражение x^2 - 8x можно представить в виде x(x - 8). Чтобы это выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы оба множителя были неотрицательными.

Таким образом, для x(x - 8) >= 0, либо оба множителя должны быть положительными, либо оба отрицательными. Решая это неравенство, получаем два интервала, на которых выражение будет неотрицательным: (-∞, 0] и [8, +∞).

Следовательно, область определения выражения x^2 - 8x является объединением двух интервалов: (-∞, 0] и [8, +∞).

Чтобы найти область определения выражения (\sqrt{x^2 - 8x}), необходимо определить, при каких значениях (x) подкоренное выражение неотрицательно. Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

1. Неравенство для подкоренного выражения: [ x^2 - 8x \geq 0 ]

2. Решение квадратного неравенства: Для решения этого неравенства сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения: [ x^2 - 8x = 0 ] Решим это уравнение с помощью разложения на множители: [ x(x - 8) = 0 ] Отсюда получаем два корня: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 8 ]

3. Интервалы для анализа: Корни (x = 0) и (x = 8) разбивают числовую ось на три интервала: [ (-\infty, 0), \quad (0, 8), \quad (8, +\infty) ]

4. Проверка знаков на интервалах: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (x^2 - 8x):

   • Для интервала ((-∞, 0)), возьмём (x = -1): [ (-1)^2 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 \quad (\text{положительное}) ]

   • Для интервала ((0, 8)), возьмём (x = 1): [ 1^2 - 8(1) = 1 - 8 = -7 \quad (\text{отрицательное}) ]

   • Для интервала ((8, +∞)), возьмём (x = 9): [ 9^2 - 8(9) = 81 - 72 = 9 \quad (\text{положительное}) ]

   Таким образом, выражение (x^2 - 8x) неотрицательно на интервалах ((-\infty, 0]) и ([8, +\infty)).

5. Объединение интервалов: Объединим интервалы, на которых (x^2 - 8x \geq 0): [ (-\infty, 0] \cup [8, +\infty) ]

Ответ:

Область определения выражения (\sqrt{x^2 - 8x}) — это объединение двух интервалов: [ x \in (-\infty, 0] \cup [8, +\infty) ]