Найдите область определения выражения:$корень$ x^2-8x

Для того чтобы найти область определения данного выражения, необходимо определить, при каких значениях переменной x выражение под корнем, то есть x^2 - 8x, будет неотрицательным числом.

Выражение x^2 - 8x можно представить в виде x$x-8$. Чтобы это выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы оба множителя были неотрицательными.

Таким образом, для x$x-8$ >= 0, либо оба множителя должны быть положительными, либо оба отрицательными. Решая это неравенство, получаем два интервала, на которых выражение будет неотрицательным: $-\infty ,0]и[8,+\infty$.

Следовательно, область определения выражения x^2 - 8x является объединением двух интервалов: $-\infty ,0]и[8,+\infty$.

Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{x^2-8x}$, необходимо определить, при каких значениях $x$ подкоренное выражение неотрицательно. Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

1. Неравенство для подкоренного выражения: $x^2-8x\ge 0$

2. Решение квадратного неравенства: Для решения этого неравенства сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2-8x=0$ Решим это уравнение с помощью разложения на множители: $x(x-8)=0$ Отсюда получаем два корня: $x=0\text{и}x=8$

3. Интервалы для анализа: Корни $x=0$ и $x=8$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\mathrm{\infty },0),(0,8),(8,+\mathrm{\infty })$

4. Проверка знаков на интервалах: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение $x^2-8x$:

   • Для интервала $(-\infty ,0$), возьмём $x=-1$: $(-1{)}^2-8(-1)=1+8=9(\text{положительное})$

   • Для интервала $(0,8$), возьмём $x=1$: $1^2-8(1)=1-8=-7(\text{отрицательное})$

   • Для интервала $(8,+\infty$), возьмём $x=9$: $9^2-8(9)=81-72=9(\text{положительное})$

   Таким образом, выражение $x^2-8x$ неотрицательно на интервалах $(-\mathrm{\infty },0]$ и $[8,+\mathrm{\infty }$).

5. Объединение интервалов: Объединим интервалы, на которых $x^2-8x\ge 0$: $(-\mathrm{\infty },0$ \cup $8,+\mathrm{\infty })$

Ответ:

Область определения выражения $\sqrt{x^2-8x}$ — это объединение двух интервалов: $x\in (-\mathrm{\infty },0$ \cup $8,+\mathrm{\infty })$