Найдите область значений функции у = x2 - 4х - 7, где х [-1; 5]

Для того чтобы найти область значений функции у = x^2 - 4x - 7 при условии, что x принадлежит отрезку [-1; 5], нужно сначала найти верхнюю и нижнюю границы области значений на этом отрезке.

Для начала найдем верхнюю границу. Для этого подставим x = 5 в уравнение функции:

y = 5^2 - 4*5 - 7 y = 25 - 20 - 7 y = -2

Таким образом, верхняя граница области значений функции y = x^2 - 4x - 7 на отрезке [-1; 5] равна -2.

Далее найдем нижнюю границу. Подставим x = -1 в уравнение функции:

y = (-1)^2 - 4*(-1) - 7 y = 1 + 4 - 7 y = -2

Таким образом, нижняя граница области значений функции y = x^2 - 4x - 7 на отрезке [-1; 5] также равна -2.

Итак, область значений функции y = x^2 - 4x - 7 при условии, что x принадлежит отрезку [-1; 5], равна [-2; -2].

Для нахождения области значений квадратичной функции ( y = x^2 - 4x - 7 ) на заданном интервале ( x \in [-1; 5] ), необходимо сначала найти вершину параболы, так как вершина параболы указывает на минимальное или максимальное значение функции на интервале.

Функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при ( x^2 ) положительный). Формула для нахождения x-координаты вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) выглядит как ( x = -\frac{b}{2a} ). В нашем случае ( a = 1 ) и ( b = -4 ), следовательно:

[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2. ]

Теперь подставим ( x = 2 ) в функцию, чтобы найти y-координату вершины:

[ y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 7 = 4 - 8 - 7 = -11. ]

Теперь проверим значения функции на концах интервала:

1. При ( x = -1 ): [ y = (-1)^2 - 4(-1) - 7 = 1 + 4 - 7 = -2. ]

2. При ( x = 5 ): [ y = 5^2 - 4 \cdot 5 - 7 = 25 - 20 - 7 = -2. ]

Итак, на интервале от (-1) до (5), функция достигает своего минимального значения в точке ( x = 2 ) и равно (-11), а максимальные значения на концах интервала равны (-2). Таким образом, область значений функции на заданном интервале будет:

[ [-11, -2]. ]